Neuvième degré

Second degré Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ LE SECOND DEGRÉ Exercice de motivation : un rectangle a pour périmètre P = 14m et pour aire S = 12m 2 . Quelles sont les dimensions de ce rectangle ? Modélisation : Soient x et y les dimensions de ce rectangle, on a : x + y = P 2 = 7 et xy = S = 12 En remplaçant y par 7 – x on obtient l'équation x(7 – x) = 12 qui peut s'écrire encore x 2 – 7x + 12 = 0. Comment résoudre une telle équation ? La réponse est dans ce qui suit. 1

nos mathématiques, c'est lui qui est à l'origine de notre façon de compter et de résoudre des calculs. 3. Parmi les autres découvertes et travaux de ce grand mathématicien arabe, on trouve: - La résolution des équations du second degré Une équation de degré 2 est une équation dont l'inconnue x possède un exposant est égal 2. Al Khwarizmi n'utilise pas de calculs pour démontrer cela mais le décrit dans un langage courant, avec des mots. - La trigonométrie Al Khwarizmi établit des

Y=ax+b V- Equation de la tangente Soit f une fonction dérivable en a. Le nombre f’(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a. L’équation est : y=f’(a)(x-a)+f(a) Polynôme du second degré Rappel : Δ=b²-4ac x1=(-b-racine de delta) : 2a x2=(-b+racine de delta) : 2a Rappel : Δ=b²-4ac x1=(-b-racine de delta) : 2a x2=(-b+racine de delta) : 2a Signes et racines | Δ>0 | Δ=0 | Δ<0 | 2 racinesx1

monômes de même degré, on les regroupe en effectuant leur addition. On dit que l'on réduit le polynôme . Habituellement on ordonne les différents monômes en les rangeant dans l'ordre des puissances décroissantes . b) écriture générale d'un polynôme réduit et ordonné de degré 2 Un polynôme du second degrés est une fonction de la forme x → ax² + bx +c ou a b et c sont des reels et a ≠ 0 , On dit que c'est un trinôme du second degré . 2/ somme

exprimera souvent la tendance de façon satisfaisante. Si l’on souhaite plus de précision, on recourra au calcul de la droite des moindres carrés, ou droite de régression des ventes sur le temps. Ce calcul prend la forme d’une équation (dite du second degré) y = ax + b : y représente les ventes estimées par la droite, x le temps, a est la pente de la droite, et b une constante (souvent, le point d’origine de la droite). On peut aussi, si la 117 PRÉVISIONS DES VENTES ET MODÉLISATION tendance

polynômes- Equations et Inéquations du 2nd degré I- Généralités sur les polynômes Une fonction polynôme est une fonction numérique qui peut s’écrire sous la forme f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ……… + a1x + a0 Où a0, a1, a2, ……… an sont des nombres réels donnés appelés coefficients. x est la variable. Si an ≠ 0 le polynôme est de degré n Exemple: f(x) = (x+1)2 + (x-1)2 + x4 f(x) = x4 + 2x2 + 2 C’est un polynôme du 4ème degré. Le coefficient de x4 vaut 1 Celui de x3

I - Second degré Résolution d'équation du second degré Signe de ax²+bx+c Factorisation d'un polynôme du second degré Calculatrice et second degré I 5 6 7 7 A. Résolution d'équation du second degré 1. Résolution de l'équation ax²+bx+c=0 Définition Pour résoudre l'équation ax²+bx+c=0 on calcule  b −4 a c 2 Si 2 b −4 a c est positif on a alors deux solutions possibles : 2 2 - b−  b −4 a c ou - b b −4 a c x 1= x 2= 2a 2a   Si Si 2 b −4 a c est égal à 0 on a

. z 3=1 ⇔ z =1 , j où j 2 =1 a 4 solutions dans ℂ : 1 , i , -1 ,-i −1i  3 ( on rappelle qu'on pose j= et qu'on a z 4 Q z = z− j z j z−  z  j j En regroupant les racines conjuguées on obtiendra des polynômes du second degré à coefficients réels . Q z = z − j z −  z  j z  n= z 2z 1 z 2−z 1 j j Ex 2 Montrer que l'équation : P  z= z 31−i  z 24−i  z− 4i=0 a une solution imaginaire pure ib avec b ∈ℝ . En déduire une factorisation de P(z) et

gens qui entament des études tertiaires directement après le secondaire II est alors de ce fait relativement faible en comparaison internationale, on constate une importante tertiarisation plus tard dans la vie et plus de 20% des premiers diplômes du degré tertiaire sont délivrés à des personnes de plus de 35 ans. La prise en compte des diplômes délivrés à ces catégories d’âge est fondamentale pour une compréhension des dynamiques affectant le niveau de formation et pour une prévision adéquate de son

(D²-d²)/4D et posons x=LA=LA’ Par la relation de conjugaison des lentilles minces, on a : 1/LA’ – 1/LA = 1/f’ = 1/(D-x)+1/x = (x+D-x) / ((D-x)x) = D / (x(D-x)) On obtient donc x²-xD+f’D = 0, polynôme du second degré Δ= D² - 4Df’ ; considérons Δ>0 → deux solutions x1= LA= (D-√(D²-4Df’)) / 2 x2= LA’= D+√(D²+4Df’)) / 2 Or d= LL’= x2-x1= √(D²-4Df’) donc f’= (D²-d²) / 4D Le terme « suffisamment éloigné » signifie que l’écran se trouve à une distance