Multiplicateur de Lagrange

l'évaluation du rapport du terme central du développement de (1+1)n à la somme totale 2n, pour une très grande valeur de n. En termes modernes, De Moivre donne un équivalent au voisinage de l'infini de 2 Cn n 2n 9 10 11 Montucla signale que Lagrange a eu le projet de faire une telle traduction en français. réalisée avec l’aide de Marie-Jeanne Lorang. Ces résultats ont été publiés par De Moivre dans les Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadratris en 1730. Version intégrale en ligne de

des deux montants suivants : La valeur à risque totale du jour précédent ; La moyenne des mesures quotidiennes de la valeur à risque totale au cours des soixante jours ouvrables précédents, à laquelle est appliqué un coefficient multiplicateur. Le coefficient multiplicateur est attribué à chaque banque par les superviseurs en fonction de la qualité de son système de gestion des risques, avec un minimum de 3, et majoré, le cas échéant, d'un facteur complémentaire variant entre 0 et 1 en fonction du

par mer, en millions de tonnes, traitées dans tous les ports..................................................................................................................................................... 322 Tableau 5.14 : Tests du Multiplicateur de Lagrange et de Haussman ......................................................... 325 Tableau 5.15 : Résultats d’estimation ............................................................................................................. 327 13 © 2011

l’aide du Lagrangien En supposant que les utilités des différents individus sont continuellement différentes. On peut résoudre le problème du choix du consommateur en terme de calcul différentiel pour une solution x >> 0. Il existe un multiplicateur de Lagrange λ > 0, que l’on interprète comme l’utilité marginale du revenu à l’optimum du consommateur, tel que : ∂U∂xi=λpi avec i=1, …, n. Lagrangien : L=ux1,x2+λ(m-p1x1-p2x2)Les 3 conditions sont : ∂L∂x1=0 ↔ u1'+λ-p1=0u1'=λp1∂L∂x2=0 ↔ u2'+λ-p2=0u2'=λp2∂L∂λ=0

D´finition e Si X := f −1 (0) avec f ∈ C 1 (U, Rn−k ) telle que f (x) surjective pour x ∈ X, on dit que les extrema de g|X sont les extrema de g li´s par les conditions e fi (α) = 0. Si g (α) = λi fi (α), on dit que les λi sont les multiplicateurs de Lagrange. Exercice 38 D´terminer les extrema de f : (x, y) → (x2 +y 2 )ex e leur nature. 2 2 2 −y 2 et pr´ciser e On calcule ∂f /∂x(x, y) = 2x(1+x2 +y 2 )ex −y et on voit que ∂f /∂x(x, y) = 2 2 0 ssi x = 0. On a f (0, y) = y 2 e−y et donc

équilibrée de plein emploi. Domar fonde son analyse sur la théorie keynésienne de l’investissement et montre la difficulté de réaliser une croissance équilibrée. L’investissement induit deux effets : un effet de demande qui repose sur le principe du multiplicateur d’investissement mis en évidence par Kahn (1931) et un effet de capacité permettant d’augmenter la quantité du capital c'est-à-dire la capacité productive. Cet effet de capacité dépend du coefficient technique qui indique la capacité productive

: trouver a 1 tel que ta1a1 soit maximum avec la contrainte ta1a1 = 1 est le problème de la recherche d’un optimum d’une fonction de plusieurs variables liées par une contrainte (les inconnues sont les composantes de a 1. La méthode des multiplicateurs de Lagrange peut alors être utilisée. Dans le cas de la recherche de a 1, il faut calculer les dérivées partielles de : En utilisant la dérivée matricielle, on obtient : Le système à résoudre est : De l’équation matricielle de ce système on déduit

vraisemblance estim´e : e max log L = c − SCR n n log − 2 n 2 o` SCR = i ui , la somme des carr´s des r´sidus estim´s. Cette expression sera u ˆ e e e tr`s utile pour faire des tests sur les param`tres (tests du ratio de vraisemblance, e e du multiplicateur de Lagrande, de Wald). 2.3 Quelques remarques sur les estimateurs a = y − ˆx ˆ ¯ b¯ ¯ ¯ (yi − y )(xi − x) ˆ = b = 2 ¯ (xi − x) On rappelle que les estimateurs MCO de a et b sont donn´s par : e y¯ yi xi − n¯x cov(yi , xi ) = 2 2 x var(xi

traiter des données de courte période. Ainsi, il serait plus approprié d’appliquer un test plus robuste et moins sensible à la taille de la période. Kwiatkowski et al. (1992) proposent d’utiliser un test (connu sous le nom du test KPSS) de multiplicateur de Lagrange (LM) fondé sur l’hypothèse nulle de stationnarité. Celle-ci est rejetée en faveur de l’hypothèse alternative de présence de racine unitaire si la statistique LM est supérieure aux valeurs critiques lues dans une table élaborée par les

équilibrée de plein emploi. Domar11 fonde son analyse sur la théorie keynésienne de l’investissement et montre la difficulté de réaliser une croissance équilibrée. L’investissement induit deux effets : un effet de demande qui repose sur le principe du multiplicateur d’investissement mis en évidence par Kahn (1931) et un effet de capacité permettant d’augmenter la quantité du capital c'est-à-dire la capacité productive. Cet effet de capacité dépend du coefficient technique v  y qui k indique la capacité