Matrice orthogonale

´quation est i ui = 0, elle ˆ b e e e signifie que les param`tres doivent ˆtre tels que les r´sidus estim´s sont de moyenne e e e e nulle. La seconde condition s’´crit quant a elle i xi ui = 0, elle implique que xi et e ` ˆ les r´sidus estim´s sont orthogonaux (cov(xi , ui) = 0). e e ˆ Apr`s quelques r´arrangements, on obtient : e e a = y − ˆx ˆ ¯ b¯ ¯ ¯ (yi − y )(xi − x) ˆ = = b 2 (xi − x) ¯ x y y¯ yi xi − n¯x cov(yi , xi ) = 2 2 xi − n¯ x var(xi ) i i avec x = n i et y = n i . ¯ ¯ a est tel que

. . . . . . . Tobin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 79 81 82 83 84 85 8 Contrˆ ole et filtrage lin´ eaire optimal 8.1 Le cadre du contrˆ ole lin´eaire . . . . . . . . . . 8.2 Matrices sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Programmation dynamique . . . . . . . . . . 8.4 Variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Coefficients d´ependant du temps . . . 8.4.2 Correction de trajectoire . . . . . . . . 8.5 Le

de façon que les distances entre images soient des distances euclidiennes et non plus des distances calculées selon la métrique du 2; * d'autre part, on recherche les directions de plus grande dispersion dans ces nuages de points images. La matrice (tableau de valeurs) dont on recherche les valeurs propres et vecteurs propres est un objet mathématique "compliqué", qui ne possède pas de signification intuitive immédiate. II-fondements statistiques et mathématiques et composantes

• • • • , et gaussien). Hypothèses structurelles • absence de colinéarité entre les variables explicatives, i.e. X 'X est régulière, det(X 'X) ≠ 0 et (X 'X)-1 existe (remarque : c'est équivalent à rang(X) = rang(X 'X) = p + 1) ; • • tend vers une matrice finie non singulière lorsque n → +∞ ; Les X j sont déterminées sans erreurs, j = 1, …, p ; Le modèle est bien spécifié en moyenne ; Homoscédasticité des erreurs (variance constante) Pas d'autocorrélation des erreurs. Les erreurs sont linéairement

de variables liées à partir de la matrice échelonnée associée à un SEL. 5) Modéliser un problème contextuel sous la forme d’un SEL. 6) Résoudre un problème contextuel à l’aide d’une méthode matricielle (5 étapes vues en classe). Chapitre 5 1) Connaître et de définir divers termes appartenant au lexique vectoriel (scalaire, vecteur, vecteur géométrique, module, direction, vecteur nul, vecteur unitaire, vecteur algébrique, composante, base, base orthogonale, base orthonormée). 2) Donner une

D est la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O. b. Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droite D et du plan (ABD). 3. a. On note L le milieu du segment [AC]. Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC). b. Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit. 4. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c’est-à-dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur. E XERCICE 4 Candidats

............................................................ 275 Matrices et suites ........................................................................................... 283 chapitre 4. Matrices carrées : évolution de processus ............................................... 285 chapitre 5. Matrices carrées inversibles et applications ........................................... 293 chapitre 6. Matrices et études asymptotiques de processus discrets .................. 301

7 Marc HINDRY Introduction et pr´sentation. e 1 Le langage math´matique e 2 Ensembles et applications 3 Groupes, structures alg´briques e 4 Les corps des r´els R et le corps des complexes C e 5 L’anneau des entiers Z 6 L’anneau des polynˆmes o 7 Matrices 8 Espaces vectoriels 9 Applications lin´aires e 10 Introduction aux d´terminants e 11 G´om´trie dans le plan et l’espace e e Appendice : R´sum´ d’alg`bre lin´aire e e e e 12 Suites de nombres r´els ou complexes e 13 Limites et continuit´ e 14 D´riv´es

linéairement indépendants, vecteurs colinéaires. b) Produit scalaire Définition géométrique : si u et v sont non nuls alors u.v = u v cos(u, v) et u.v = 0 sinon. Bilinéarité, symétrie. Interpréter le produit scalaire en termes de projection orthogonale. Outils mathématiques pour la physique-chimie et les sciences industrielles de l’ingénieur §4. Exprimer le produit scalaire dans une base orthonormale. Caractériser l’orthogonalité de deux vecteurs. Déterminer une mesure d’un angle non orienté.

est stable par cette application linéaire. Quel est le noyau de cette application linéaire ? Identifiez son ensemble image. Donnez la matrice correspondant à cette application linéaire. c) Même question avec y -> xy'(x)+3y(x) Que peut-on alors dire de la résolution d'équations du genre xy'(x)+3y(x)=f(x) ? Valeurs propres - Vecteurs propres Soit f . Donnez la matrice M correspondant à f. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de f. Sur le papier, dessinez deux vecteurs propres (un par