Matrice orthogonale

valeurs propres donn´es. e e Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e Vendredi, 30 Mars 2012 3 / 25 Matrices Diagonales Rappel: Une matrice diagonale est une matrice carr´e dont dont les ´l´ments e ee non diagonaux sont nuls. Exemples  −1 0 0 3  0 0  0 0  1 4   2 0 0 0 0 −8 0 0   0 0 −5 0 0 0 0 6 Il est tr`s simple et utile de travailler avec les matrices diagonales pour e plusieurs raisons: Elles sont triangulaires inf´rieures et sup´rieures ` la fois. e e a Leurs

Chapitre 23 MATRICES Enoncé des exercices 1 Les basiques Exercice 23.1 Donner la matrice de l’application linéaire f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (z, y, x) dans les bases canoniques. Puis montrer que B = ((1, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0, −1)) est une base. Donner la matrice de f dans B. Exercice 23.2 Soit f l’endomorphisme de R2 défini par f 1 −1 ,B= x y = x − 3y 2x + 4y Justifier que B = Soit A = 1 −3 2 4 , 2 est une base de R2 . 1 4 −1 que représentent A et B vis à vis de f ? −2 8

ij a (k) ik kj wa Fin(j); Fin(i) Fin(k) ; ; 15 A k désigne les sous-matrices principales de A définies par a11 a12 a1k k a 22 a 2k a k1 a k2 A k a kk Si det( A ) est non nul pour k=1,2,…,n, alors la méthode d’élimination de Gauss est faisable sans permutation de (k) lignes (tous les pivot akk sont non nuls). Remarque: 1) Si A est une matrice régulière (inversible), alors l’élimination de Gauss peut toujours se faire avec permutation

Chapitre 1 La définition d'une matrice: (i) Une matrice A de dimension (ou type) m X n est un tableau rectangulaire à m lignes et n colonnes. (ii) Les éléments de A seront appelés entrées, notés aij où i désigne le numéro de la ligne et j celui de la colonne. (iii) L'ensemble de toutes les matrices de dimension m X n sera noté M m,n. m (lignes) X n (colonne) : Am X n Type de matrices particulières : Nulle ; tout 0 Matrice (ou vecteur) ligne ou colonne Matrice carrée Matrice triangulaire supérieur :

Maths-Info à l’Université du Havre Gisella Croce 2 Table des matières 1 Systèmes différentiels linéaires 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Etude de Y ′ (t) = AY (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Matrice fondamentale de solutions . . . . . . . . . . . . . 1.4 Etude de Y ′ (t) = AY (t) + B(t) . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Équations différentielles d’ordre p à coefficients constants 1.6 Etude des systèmes linéaires à coefficients variables . . . . 1

(λ ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p j ≤ p 2) Matrices particulières • Une matrice carrée de format (n,n) est notée : Mn(K) • La matrice nulle de format (n,p) est notée : 0(n,p) = (ai,j) avec ai,j = 0 pour tout i et j de [|1, n|] x [|1, p|] • La matrice élémentaire de format (n,p). Soit (i, j) ∈ [|1, n|] x [|1, p|] fixé alors : 0 Ei , j = 0 0 0 0 1 0 ∈ Mn , p ( K ) 0 Dans Mn, p(K), il y a n.p matrices élémentaires. Famille des matrices élémentaires : (E1,1 ; E1,2 ; … ; E1,p ; E2,1 ;

mathématiques en terminale . Matrices et opérations en terminale S spécialité I. Notion de matrices : Définition : n et p désignent des nombres entiers naturels non nuls. Une matrice de format ( ou taille ) (n,p) est un tableau de nombres réelks à n lignes et p colonnes. Exemple : La matrice M ci-dessous peut être notée où désigne le coefficient situé à la ième ligne et à la jième colonne. Vocabulaire : - Lorsque p=1 , on dit que M est une matrice colonne . - Lorsque n=1 , on

1) Définition Une matrice de taille n×p est un tableau de nombres (réels dans ce chapitre), n étant le nombre de lignes et p de colonnes. On note ai,j l’élément de la ligne i et colonne j de la matrice A. La matrice A peut se noter (ai,j). Ex : 1 2 4 9 3 5 7 6 8 1 5 2 A − = − − de taille 3×4. L’élément a2,3 vaut 7. 2) Matrices particulières a) Matrices ligne et matrice colonne Une matrice ligne est une matrice de taille 1×p. Une matrice colonne est une matrice de taille n×1. Ex

Exercices - Matrices : corrigé Autour du produit Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On peut effectuer les produits AC, AE, BA, CB, CD, DB, DD, EC, EE. Seules les matrices D et E sont carrées, et seule la matrice D est symétrique. Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup 1. Puisque A et B sont deux matrices carrées de même ordre, les deux produits AB et BA sont possibles. On trouve : AB = 0 0 0 0 , 0 0 0 0 BA = . En particulier, AB = BA = 0 alors que ni A ni B ne sont nuls

Fiche spé maths MATRICES. I) Définitions : On appelle matrice de dimension m*n un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note ai,j le coefficient situé à l'intersection de la i-éme ligne et de la j-ème colonne. EXEMPLE : La matrice P = La matrice P est d'ordre 2x3, le coefficient a2,3 de la matrice P est a2,3 = 120. 1) cas particuliers. La matrice carrée : même nombre de lignes et même nombre de colonnes. EXEMPLE: La matrice M = La matrice ligne : matrice formée d'une seule