Loi de Hooke

T (x + δx, t) θ(x + δx, t) − T (x, t) θ(x, t) , o` θ(x, t) = ∂x w(x, t) est tangent ` la corde en w(x, t). u a 2 2 L’acc´l´ration de la corde au point w(x, t) est simplement ∂tt w(x, t) = ∂tt u(x, t). ee La relation fondamentale de la m´canique, ou loi de Newton (F = m γ) appliqu´e au e e morceau de corde [x, x + δx] s’´crit donc, pour la composante parall`le ` e1 : e e a T (x + δx, t) − T (x, t) = 0 , et pour la composante orthogonale ` e1 : a x+δx T (x + δx, t) ∂x u(x + δx, t) − T (x, t) ∂x

tous les points P situés sur le r segment FM parallèle à G z donc en particulier F et M. Considérons un point M’ très voisin de M à la même côte y ; lorsque la poutre se déforme, la longueur MM’ varie d’une certaine quantité Δ(MM’) ; d’après la loi de Hooke, la contrainte normale en M est : σ x =E Δ (MM' ) MM' Pour mesurer la contrainte normale au point P, il suffit donc de mesurer la variation de la longueur du segment MM’ grâce aux jauges et au pont d’extensométrie. c) Etude des déformées

.......................... 164 4.1.1.2. Déformations longitudinale et transversale. .......................... 164 4.1.1.3. Elasticité. .............................................................................................. 165 4.1.1.4. Loi de HOOKE. .................................................................................. 166 4.1.2. Corps d’épreuve....................................................................................................... 167 4.1.2.1. Comportement en traction

contraintes : e 1 σ D = σ − T r(σ)I 3 3 Chapitre 3 Comportement des mat´riaux e Les formules sont report´s dans le chapitre suivant. e 4 Chapitre 4 ´ Elasticit´ lin´aire e e infinit´simale e ´ Formule 9 Elasticit´ lin´aire isotrope – Loi de Hooke : e e ε σ = = ν 1+ν σ− T r(σ)I E E λ T r(ε)I + 2µε Rappel 3 Relations entre (λ, µ) et (E, ν) : λ = Eν (1 + ν)(1 − 2ν) E 2(1 + ν) µ = ´ Formule 10 Equation de Navier : Div x (σ) + f v = ρ ∂2u ∂t2 5 Deuxi`me partie e Fluides

respectivement         −νax cy 0 ux         −cx 0 u + + =   −νay     y   az 0 b uz 3 L0 L0 Figure 1: Strictions et ruptures en traction uniaxiale - schéma de l’éprouvette de traction. 2 - En élasticité linéaire isotrope la loi de comportement peut s’écrire 2µ xx σ= + λ( xx + 2µ xy 2µ xz yy + zz ) 2µ yy 2µ xy + λ( xx + 2µ yz yy + zz ) 2µ zz 2µ xz 2µ yz + λ( xx + yy + zz ) d’où σ=a car λ = −2µν + λ(1 − 2ν) 0 0 Eν (1+ν)(1−2ν) et µ = 0 −2µν + λ(1 − 2ν)

parcourue pour atteindre la vitesse v. Comme la force est constante, le mouvement est rectiligne et uniformément accéléré : d = 1 2 a t 2. L’expression du travail devient : W (~F ) = F 1 2 a t 2. L’accélération et la force sont reliées par la deuxième loi de Newton : F = ma d’où : W (~F ) = ma 1 2 a t 2 = 1 2 m (a t)2 et avec v = a t : W (~F ) = 1 2 mv2 (4.2) Le travail ne dépend que de la valeur finale de la vitesse et de la masse du solide. L’expression reste valable même si la force n’est pas constante

Essai de Traction.doc du 06/09/10 6/16 V.S. I.3. Constantes d’élasticité I.3.a. Définitions Dans la première portion de la courbe, il y a proportionnalité entre charge unitaire et déformation, au moins en première approximation : c'est la loi de Hoocke. La caractéristique d'élasticité est la pente de cette droite qui est le module d'élasticité E (Coefficient d'élasticité longitudinal ou module d'Young) ; il exprime le rapport entre la charge unitaire appliquée et la déformation longitudinale

vivants qu’il nomme « seminaria ». En 1595 : le hollandais Zacharias Jansen invente un système optique : le premier microscope. Des modifications apportées par Antoine van Leeuwenhoek généralement reconnu comme le père du microscope et par Robert Hooke permirent à ce dernier la découverte de la cellule en 1665. L’invention du microscope reste encore controversée, le nom « microscope » a été officiellement crée par Demisiano en 1645. En 1677 : Antoine van Leeuwenhoek fut l’un des premiers à décrire

agissant sur la face normale à y et dont le vecteur est dirigé selon x, créent une répartition linéaire de la contrainte normale. Cette situation est similaire à celle de la poutre. Contraintes On peut évaluer les contraintes à partir de la loi de Hooke : soit où E est le module de Young et ν est le coefficient de Poisson. On peut relier les contraintes normales aux moments fléchissants par le principe d'équivalence ; il faut pour cela choisir une convention, à l'instar des conventions

version 3.8 - septembre 2011 4.2 LOI DE HOOKE La loi de Hooke du nom de son concepteur définit la relation entre la contrainte et l'allongement ou le raccourcissement de la matière. Elle s'écrit de la manière suivante: f =  * E (module d'élasticité) f = contrainte à laquelle est soumis le matériau allongement spécifique du matériau = L / L total  (epsilon) =  exprime un rapport, c'est une valeur sans dimension De la loi de Hooke découlent de nombreuses formules dont