Leonhard Euler

h h th r y r u u j u c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c bcerhjru ru yht yg ggh th hIl faut attendre le 18ème siècle pour voir les premiers résultats démontrés : 1737 : Euler ( 1707-1783 ) démontre l’irrationalité de e et conjecture la transcendance de pi. 1795 : Legendre démontre qu’un nombre peut être construit à l’aide d’une règle et d’un compas si et seulement si il peut être définit à l’aide d’opérations élémentaires

2 tan a/2 1 - tan2 a/2 sin(2 ) = 2 . sin( ) . cos( ) tan (2 ) = 2tan( ) 1 - tan2 ( ) 10 coté adjacent à cos( ) = hypoténuse coté opposé à sin( ) = hypoténuse tan( ) = sin ( ) cos ( ) hyp oppo adjacent 11 Formules d’ Euler : ej + e-j cos( ) = 2 et ej - e-j sin ( ) = 2j Formule de Moivre : ( cos + sin )n = cos(n ) + sin(n ) M MEMENTO MATHÉMATIQUES M5 MATHEMATIQUES 2/2 VOLUMES 1 2 Désignation Cube (1) Parallélépipède rectangle (2) Pyramide (3)

1) Ecrire un algorithme qui détermine à partir d’un graphe et d’un noeud a, la recherche d’une composante fortement connexe 2) Ecrire un algorithme qui détermine à partir d’un graphe toutes les composantes fortement connexes Exercice n° 5 En 1766, Euler résolut le problème suivant : un promeneur peut-il traverser une fois et une seule tous les ponts de la ville de Königsberg (et revenir à son point de départ)? Voici le plan de la ville : A B C D Ceci a conduit à définir la notion de chaîne

LES GRAPHES: I- Définitions ・ Une chaîne dans un graphe est une suite de sommets reliés par des arêtes. ・ Si l'origine et l'extrémité de la chaîne sont confondus, on dit que la chaîne est fermée. ・ Un cycle est une chaîne simple dont les extrémités coïncident. On ne rencontre pas deux fois le même sommet, sauf celui choisi comme sommet de départ et d'arrivée. ・ Une chaîne est dit eulérien si chaque arête du graphe y apparaît exactement une fois. ・ Un graphe connexe est un graphe

imaginaire. i est un symbole n'ayant d'autre but que de distinguer partie réelle Re(z) = a de sa partie imaginaire Im(z) = b. Les règles de calculs sont les règles usuelles de la somme et du produit, avec la règle i2 = –1. La notation i est due à Euler (1707 – 1783). Ces règles donnent à une structure appelée corps, comme ou . Dans un corps, il y a deux opérations, somme et produit, et tout élément non nul z = a + ib possède un inverse : a–ib z–1 = 2 2 a +b comme on le vérifie facilement. Depuis

des Réflexions sur la cause générale des vents (reprises et généralisées par Euler), et un traité sur la précession des équinoxes, où il donne une solution partielle au problème des 3 corps. Ces travaux de d'Alembert apparaissent comme très solides mathématiquement, mais font parfois appel à des simplifications de problèmes physiques très discutables, voire opposées à la réalité. Cela lui vaudra de vives querelles avec Euler, Clairaut, et D. Bernoulli. A compter de 1746, d'Alembert se lance avec

Définition : Un graphe permet de décrire un ensemble d'objets et leurs relations, c'est à dire les liens entre les objets. Les objets sont appelés les noeuds, ou encore les sommets du graphe. Un lien entre deux objets est appelé une arête. Nous dirons simplement qu'un graphe est d'ordre n si il comporte n sommets. Toute la richesse des graphes vient évidemment de la grande diversité que peut avoir l'ensemble de ses arêtes. Degre : Deux sommets x et y sont adjacents si il existe l'arête (x,y)

d'artillerie. A 23 ans, Il se fit brillamment connaître par la publication de ses Actes de la société privée où il aborde des sujets de physique mathématique : isopérimètres (calcul de variation), acoustique, hydrodynamique. Il connut d'Alembert et Euler auquel il succéda à la présidence de l'Académie des sciences de Berlin (1766) et revint à Paris en 1787 à l'invitation de Louis XVI. Membre fondateur du bureau des longitudes, Lagrange fut anobli par Napoléon. Savant universel, ce brillant mathématicien

le langage C pour coder les différentes méthodes, dans l'objectif d'avoir une représentation visuelle des différentes méthodes. Nous avons tenté d'approcher la fonction de Van der Pol, qui se ̇ caractérise par : { } ( ) ̇ Schémas d'Euler L’auteur Euler est un mathématicien et physicien suisse du XVIIIème siècle. Dans le domaine des mathématiques, il est très connu pour ses travaux sur le calcul infinitésimal et la théorie des Graphes. Il résolu notamment le très célèbre problème des 7 ponts de Königsberg

nombre i est un nombre dont le carré vaut −1. Ainsi, i2 = −1. De plus, son opposé −i a aussi pour carré −1. En effet : (−i)2 = i2 = −1. Les deux racines de −1 sont les deux nombres irréels i et −i. Un peu d’histoire : La notation i fut introduite par Euler en 1777, puis reprise par Gauss au début du XIXème siècle. Cependant, le premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes en 1637. I.2 L’ensemble des nombres complexes On connait déjà 5 ensembles permettant de "ranger" les nombres