Leonhard Euler

(ou semi-eulérien) s’il est possible de dessiner le graphe sans lever le crayon et sans passer deux fois sur la même arête. Exercice 17 Cet exercice est un des problèmes fondateurs de la théorie des graphes, proposé par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1736. En 1652, la ville de Königsberg (aujourd’hui Kaliningrad) possède sept ponts enjambant la Pregel, qui coule de part et d’autre de l’île de Kneiphof. Königsberg en 1652 Au cours d’une promenade, est-il possible de passer sur tous

premiers nombres de Fermat sont 3, 5, 17, 257, 65537 qui sont des nombres premiers. Fermat pensait que tous ces nombres étaient premiers. Ce qui n'est pas le cas car pour n = 5, on obtient le nombre 4 294 967 297 qui est divisible par 641 (démontré par Euler en 1732). En fait aucune formule très simple ne convient. Le document ci-dessous en propose quelques unes. On montre par exemple qu'aucune fonction polynôme ne donne que des nombres premiers sauf dans le cas trivial où la formule est constante

d'ouvrages fixes comme les ponts, tours, et grands immeubles, dont elle détermine les réactions au vent. Son apparition peut être située au XVIIIe siècle, en Europe, où furent développées les premières théories (Daniel Bernoulli, 1738 ; Leonhard Paul Euler, 1755). Mais ce n'est qu'un siècle plus tard que les lois fondamentales de la mécanique des fluides (qui rassemble l’aérodynamique et l’hydrodynamique) ont été formulées (Henri Navier, 1827 ; Siméon-Denis Poisson, 1831). Devant l'impossibilité

représente un pas en avant considérable car elle démontre non seulement qu’il y a une infinité de nombres 6 Raisonnements divins 1 premiers, mais aussi que la série p∈P p diverge. La première preuve de ce résultat important a été donnée par Euler (elle est intéressante en ellemême), mais la preuve donnée ici, inventée par Erd˝ s, est d’une irrésistible o beauté. Soit p1 , p2 , p3 , . . . la suite des nombres premiers écrite dans l’ordre crois1 sant. Supposons que p∈P p converge. Il doit donc

k × OA′ . 7) En déduire la deuxième coordonnée du point H. 5 Droite d’Euler À partir de leurs coordonnées déterminées dans les parties 1 à 4, vérifier que les points G, O et H sont alignés sur une droite qu’on appelle la droite d’Euler. Leonhard Paul Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle (Suisse) et mort à 76 ans, le 18 septembre 1783, à SaintPétersbourg (Empire russe), est un mathématicien et physicien suisse. Il a aussi montré que, pour tout triangle, les neuf points suivants : les pieds des trois

* Jean Le Rond d'Alembert, 1765, article Hydrodynamique de l'Encyclopédie (Tome VIII). * Ibrahimi Ahmed (1999), archive du service documentation de la station de reprise de l’eau de mer R.E.M.3 du complexe Maroc Phosphore Jorf Lasfar. [3] * Leonhard Euler, 1755, Principes Généraux du mouvement des fluides. * Marc Soutter, André Mermoud, André Musy, Ingénierie des eaux et du sol: Processus et aménagements, presses polytechniques et universitaires Romandes. * Riadh Ben Hamouda, Notions de Mécanique

alors quand on élève un nombre à la puissance (nombre premier -1), on obtient 1 ! Pour n'importe quel nombre m et pour p premier : m ( p – 1 ) mod p = 1 Exemple : 7 10 mod 11 = 1 …pas besoin de calcul car 11 est premier ! P-F. Bonnefoi Leonhard Euler : Lorsqu'on utilise un module comme étant le produit de deux nombres premiers on a : Soit n = p * q, avec p et q premiers, et quelque soit m m( p – 1 ) ( q – 1 ) mod n = 1 Exemple : soit p = 11 et q = 5, n = 55 et (p – 1)(q – 1) = 10 * 4 =

premier comme module, alors quand on élève un nombre à la puissance (nombre premier -1), on obtient 1 ! Pour n'importe quel nombre m et pour p premier : m ( p – 1 ) mod p = 1 Exemple : 7 10 mod 11 = 1 …pas besoin de calcul car 11 est premier ! Leonhard Euler : Lorsqu'on utilise un module comme étant le produit de deux nombres premiers on a : Soit n = p * q, avec p et q premiers, et quelque soit m m( p – 1 ) ( q – 1 ) mod n = 1 Exemple : soit p = 11 et q = 5, n = 55 et (p – 1)(q – 1) = 10 * 4 = 40

physicien et mathématicien suisse. C’est le fils de Jean Bernoulli et le neveu de Jacques Bernoulli. Il cultiva à la fois les sciences mathématiques et les sciences naturelles, enseigna les mathématiques, l’anatomie, la botanique et la physique. Ami de Leonhard Euler, il travaille avec lui dans plusieurs domaines des mathématiques et de la physique ( il partagea avec lui dix fois le prix annuel de l’Académie des sciences de Paris), qu’il s’en fit une sorte de revenu. Les différents problèmes qu’il tente de

3 Interface 3 de l’application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.0.4 Interface 4 de l’application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 viiIntrodution La théorie des graphes a été commencée avec l’article du mathématicien suisse Leonhard Euler sur le problème des ponts des sept ponts de Königsberg, et aujourd’hui elle devient « foisonnante » aux frontières de domaines plus classiques. Elle combine des concepts de deux branches de sciences exactes, c’est une théorie informatique et mathématique