Isomorphisme de graphes

≤ f(x) ≤ f(b) ⇒ a ≤ f(x) ≤ b f(b) = b f(x) – x est de signe constant sur [a, b]. Traitons d'abord le cas où f(x) – x ≥ 0 sur ]a, b[. La construction suivante permet d'utiliser un graphique pour conjecturer le comportement de la suite. On trace le graphe de f, ainsi que la droite y = x. b (u2,u3) (u1,u2) (u0,u1) (u1,u1) (u3,u3) (u2,u2) a a (u0,0) b - 22 - On a indiqué sur "l'escalier" qui est dessiné les coordonnées des points anguleux. La suite (un) apparaît aussi bien comme

Et celle-ci est unique. En particulier, il existe une unique solution maximale. 4.4 Proposition (majorations a priori) Supposons X est continue et localement lipschitzienne en x. Si toute solution x sur J relativement compact dans I a son graphe relativement compact dans U , alors il existe une solution sur I. 4.5 Lemme de Gronwall t Soit f : [a, b] → Rn continue. Supposons que pour tout t ∈ [a, b], on ait f (t) ≤ C + a f (u) |θ(u)|du avec C ≥ 0 et θ : [a, b] → R continue

de la convergence uniforme. En effet, (fn )n∈N tend vers f pour ∞ si et seulement si : ∀ ∈ R∗+ ∃N ∈ N | ∀n N f − fn ∞< donc : ∀x ∈ E ∀n N |f (x) − fn (x)| < Si E = R, cela revient ` a dire que pour tout n autour du graphe de f . Th´ eor` eme 3.7 (F(E, R), ∞) N , le graphe de fn est contenu dans une -bande est un espace complet. Soit (fn )n∈N une suite de Cauchy. Donc ∀ ∈ N ∃N ∈ N | ∀n, m N fn − fm ∞< ´ 3.1. COMPLETUDE 17 Par cons´equent, ∀n, m N ∀x ∈ E |fn (x) − fm (x)| < Donc pour

intervalle de IR et f une fonction continue et stictement moe e notone sur I. Alors f est bijective de I sur f (I) et sa r´ciproque f −1 est continue et est e strictement monotone, de mˆme sens de monotonie que f , sur f (I). e Rappelons que les graphes de f et de f −1 sont sym´triques par rapport ` la premi`re bissece a e trice. Exemple 8.2.1 i) La fonction sin : − π , π −→ [−1,1] est continue et strictement crois2 2 Ů Ť e e sante, donc elle bijective de − π , π sur [−1,1] et sa fonction r´ciproque

Si f est une application de E dans lui mˆme, on pourra d´finir par r´currence la puissance e e e e ni`me de f par f 2 = f ◦ f et f n = f n−1 ◦ f = f ◦ f n−1 . form´ par les couples (x, f (x)) quand x d´crit l’ensemble de d´part E. e e e Le graphe d’une application f de E dans F est le sous-ensemble Cf du produit E × F (x, y) ∈ E 2 , l’´galit´ f (x) = f (y) implique x = y. e e D´finition. Soit f : E → F . On dit que f est injective si et seulement si : pour tout e On dit que f est surjective

est inversible. n T n × DR invariant par le flot hamiltonien de H de sorte que n Alors H0 possède un voisinage W ⊂ C ∞ (Tn × DR ) tel que pour tout hamiltonien H ∈ W, on puisse trouver un tore TH de dimension n plongé dans ◦ n – TH soit le graphe d’une application uH dans C ∞ (Tn , DR ), – le flot de H restreint à TH soit conjugué au flot de H0 restreint à Tn × {I0 }, i.e. au flot constant α sur Tn . ◦ 24 Fig. 3.1 – Déformation du tore 3.3 Étude de cas Afin de donner un aperçu

nous pouvons voir que β est bijective. En effet, ω−1 est aussi une racine cubique primitive de l’unité et l’application (x, y) 7→ (ω−1x, y) est l’inverse de β. Lemme 2.3. Soit P ∈ E un point d’ordre n. Alors β(P ) est aussi d’ordre n car β est un isomorphisme. Supposons que 3 - n. Si P ∈ E(Fq) est d’ordre n avec E : y2 = x3 + b, b ∈ Fq un carré, alors en(P, β(P )) est une racine primitive nème de l’unité. Preuve. Commençons par montrer que P et β(P ) forment une base de E[n]. Soient u, v des nombres

et [x + ε, b]. Il en r´sulte e   A(x) = 1 (x − a) x−a (b − x) b−x b−a b−a  e   A(a) = A(b) = 1 (b − a). e si x ∈ ]a, b[, 36 Analyse num´rique et ´quations diff´rentielles e e e Une ´tude de x → A(x) donne l’allure du graphe : e y 1 e (b − a) 1 2e (b − a) 0 A(x) a b a+b 2 x La fonction A atteint donc son maximum A = 1 (b − a) en x = a ou b et son e 1 e minimum 2e (b − a) en x = a+b . D’un point de vue pratique, il va en r´sulter

cardinal de l’espace tout entier. Le code Hm est donc parfait. 5.2.2 a- Codes cycliques Corps finis Th´ eor` eme 5.1 Soit F un corps fini de cardinal q > 1. Alors 1. q = pm , o` u p est un nombre premier et m un entier positif. 2. F est unique `a isomorphisme pr`es. – Lorsque p est premier le corps Fp est ´egal `a Z/pZ. – Lorsque q = pm , avec m > 1, on dira que Fq est une extension de degr´e m de Fp . Proposition 5.6 Soit Fq un corps fini. Soit pm (x) un polynˆ ome irr´eductible de Fq [x] de degr´e

n’est pas isomorphe au produit de deux groupes non nuls. Indication. Montrer que ses sous-groupes stricts sont monogènes. Groupe diédral Montrer que le groupe des isométries du plan laissant stable un polygone régulier à n côtés ne dépend pas (à isomorphisme près) du polygone choisi. Quel est son cardinal ? Quels en sont les sous-groupes ? 1. Concepts algébriques fondamentaux 3 Sous-groupes finis de ( / , +) et quotients Considérons le groupe ( / , +) ; il s’identifit au groupe des racines de l’unité