Isomorphisme de graphes

révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 104 105 107 109 50. Arborescence des tâches principales 50.1. 50.2. 50.3. 50.4. 50.5. Algèbre générale Algèbre Linéaire . Calcul vectoriel . Analyse . . . . . . Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 121 121 122 122 122 IV Maple 44. Bases 111 111 Résumé

ensembles partiellement ordonnés. Nous disons que P et Q sont ordre-isomorphes, noté P ∼ Q, s'il existe une bijection f : P ⇒ Q et tel que : = et P x≤y La bijection dans P ⇔ f (x) ≤ f (y) dans Q. f est ainsi dite ordre-isomorphisme [Davey et Priestley, 2002]. [Ganter et Wille, 1999] Relation de couverture x, y deux éléments de Soient E un ensemble ordonné (E ,≤) et E. La relation de couverture entre les éléments de E, notée , est dénie

des listes chaˆın´ees Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . graphes Pr´esentation informelle . . . . . . . . . Terminologie . . . . . . . . . . . . . . Parcours de graphes . . . . . . . . . . 8.3.1 Parcours en profondeur . . . . 8.3.2 Parcours en largeur . . . . . . 8.4 Repr´esentations des graphes . . . . . . 8.4.1 Les matrices d’adjacence . . . . 8.4.2 Les listes d’adjacence . . . . . 8.5 Graphes orient´es acycliques (dag) . . . 8.5.1 Tri topologique . . . . . . . . .

0.7 0.035 0.6 0.030 0.5 0.025 0.4 0.020 0.3 0.015 0.2 0.010 0.1 0.005 0.0 −3 −2 −1 0 1 2 3 0.000 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Figure 1.1 – A gauche : graphe de la fonction E. A droite : zoom sur la r´gion e du graphe correspondant ` x = 0. a c) enfin, c’est ` partir des fonctions de classe C ∞ ` support compact et par a a un proc´d´ de dualit´ que l’on va ´tendre le calcul diff´rentiel des fonctions aux e e e e e distributions, qui

autres chapitres de cette partie développent les notions de base de Sage : effectuer des calculs numériques ou symboliques en analyse, opérer sur des vecteurs et des matrices, écrire des programmes, manipuler des listes de données, construire des graphes, etc. Les parties suivantes de cet ouvrage approfondissent les branches des mathématiques dans lesquelles l’informatique fait preuve d’une grande efficacité. 1.1 1.1.1 Le logiciel Sage Un outil pour les mathématiques Sage est un logiciel

inversibles dans (Z/nZ, ×). a) Calculer ϕ(p) et ϕ(pα ) pour p premier et α ∈ N . b) Soient m et n premiers entre eux. On considère l’application f : Z/mnZ → Z/nZ × Z/mZ définie par f (¯ x) = (ˆ x, x ˜). Montrer que f est bien définie et réalise un isomorphisme d’anneaux. c) En déduire que ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). d) Exprimer ϕ(n) selon la décomposition primaire de n. ∀a ∈ (Z/pZ) , ap−1 = 1 Exercice 63 [ 03636 ] [correction] Soit n 2 un entier. On suppose ∀a ∈ {1, . . . , n − 1} , an−1 ≡ 1 Indicatrice

E → F, avec E et F deux espaces vectoriels sur K est linéaire, ou est un morphisme, ou encore un homomorphisme ⇔ f f f f : : : : f (λ.u + µ.v) = λ. f (u) + µ. f (v) ∀λ,µ ∈ K E → E, linéaire est un endomorphisme E → F, linéaire bijective est un isomorphisme E → E, linéaire bijective est un automorphisme E → K, linéaire est une forme linéaire. K est ici considéré comme un espace vectoriel sur lui-même. ∀u,v ∈ E Théorème : L( E,F ) et L( E) sont des espaces vectoriels sur K. Si E et F sont de

. , yn ) ∈ Rn . On note x x ∞ = max16i6n |xi |. Montrer que dans les deux cas on a : x+y 1 = n i=1 |xi | et x + y . Exercice 287 Pout tout x ∈ R on note E(x) sa partie enti`re et {x} sa partie d´cimale. e e 1. Tracer les graphes des fonctions x → E(x) et x → {x}. 9 Propri´t´s de R e e 32 2. Montrer les relations suivantes : E(x) + E(y) n ∈ Z, E E(nx) = E(x) pour tout n ∈ N∗ . n E(x + y), E(x + n) = E(x) + n pour tout 3. D´terminer lim E(x) et lim{x}

espace vectoriel de dimension n. Preuve. S0 , muni des opérations somme de deux solutions et produit d’un scalaire λ ∈ K et d’une solution est un espace vectoriel. S0 a dimension n, car si on fixe t0 ∈ I, alors Φt0 : S0 Y → → Kn Y (t0 ) est un isomorphisme linéaire, grâce au théorème 1.1.2. 2. S = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t) + B(t)} = S0 + Y1 , Y1 étant une solution de (1.1) Preuve. On prouve que S = S0 + Y1 par double inclusion. Remarque 1.1.3 Pourquoi on appelle ces systèmes linéaires ? Parce

e e e a 2- Soit Γ = {(x,y)/ f (x,y) = 0}. Montrer que tout point proche de l’origine est l’intersection de l’axe des abscisses et d’une courbe dont on pr´cisera la tangente ` l’origine e a 3- Combien existe-t-il de fonctions y → g(y) telles que le graphe de g soi inclus dans Γ? 4- D´terminer les extrema locaux de f . e CCP 12 12 points On d´finit f 2π p´riodique et paire par ∀x ∈ [0,π], f (x) = x2 . e e e 1- Type de convergence de la s´rie de Fourier? 2- Calcul des coefficients 3- Calcul de +∞ n=1