Formule d'Euler

4.3 La méthode du développement de Taylor . . 4.4 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . 4.5 La méthode d’Euler progressive . . . . . . . 4.6 Analyse des méthodes à un pas . . . . . . . 4.6.1 Consistance . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Zéro-stabilité . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Erreur d’arrondi et méthode d’Euler 4.6.5 Stabilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Equations générales du mouvement : équations d'Euler 4 II.1.2 Equation de continuité 5 II.1.3 Equation caractéristique du fluide 6 II.1.4 Equations intrinsèques 6 II.2 relations de bernoulli 6 II.2.1 Première formulation 6 II.2.2 Deuxième formulation 7 II.2.3 Représentation géométrique et interprétation énergétique du théorème de Bernoulli 8 II.3 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES REELS 8 II.3.1 Rappels sur la viscosité : formule de Newton 8 II.3.2 Equations de Lamé

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Formules de MOIVRE et d’EULER 10 V.1 Formule de MOIVRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 V.2 Formules d’EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 VI Lignes de niveau 11 VIIÉquations du second degré 12 Les chemins de la création

présent que le problème comporte donc 5 inconnues scalaires et nécessite 5 équations pour sa résolution… ! Nous nous limiterons enfin dans ce chapitre à l’étude de fluides parfaits où n’intervient donc aucune force de viscosité. 1. EQUATION D’EULER - APPLICATIONS 1.1. Expression Appliquons la relation de la résultante cinétique à une particule de masse dm de fluide dont on suit le mouvement, on a : r r Dv dm = df Dt r r Dv où représente l'accélération de la particule et d f la résultante

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Règles de calcul en notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Formules de MOIVRE et d’EULER 10 V.1 Formule de MOIVRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 V.2 Formules d’EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 VI Lignes de niveau VII Équations du second degré 11 12 Les chemins de la création

Notation d’Euler Soit θ ∈ R. On pose ei θ = cos(θ) + i sin(θ) Il s’agit de la notation d’Euler. Remarque : Dor´navant, on ´crira z = r eiθ au lieu d’´crire z = r (cos(θ) + i sin(θ)) lorsqu’on ´crit une forme e e e e trigonom´trique ! e Propri´t´ 7 Soient θ et θ des r´els. Alors : e e e ei (θ+θ ) = eiθ eiθ eiθ = = e−i θ 1 ei θ ei θ = 1 ⇔ θ ≡ 0 [2π] ´ Exercice 4. Etablir la premi`re formule ` l’aide de formules de trigonom´trie. e a e Formule de Moivre

1.3.3 Classe d’Euler du plongement . . . . . . . . 1.3.4 Plongement dans une variété elliptique . . . 2 Quelques invariants de cobordisme 2.1 Cobordisme normal . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Fibrés vectoriels stables . . . . . . . . . 2.1.2 Structure normale stable sur une variété 2.1.3 Structure des groupes de cobordisme . . 2.2 Nombres de Pontryagin . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Nombres de Pontryagin normaux . . . . 2.2.2 Réseau et congruences de Stong . . . . . 2.3 Formule de la signature

cherche à faire des estimations en temps réel (ou presque). Dans ce dernier cas, une fiabilité minimale mais une efficacité maximale seront plus opportunes. 1.2 Les différentes sources d’erreur 1.2.1 Formulation abstraite du problème Commençons par formuler de manière abstraite les problèmes du calcul scientifique sous la forme : chercher x tel que, pour des données d, on ait F (x, d) = 0. L’inconnue x et les données d peuvent être des nombres, des vecteurs, des fonctions, etc. On notera par la suite

champ A(x,t) (scalaire, vectoriel, tensoriel, …) Expliciter sa densité lagrangienne L(A, (A, t) Action : Utile : formule de Green : Pourquoi un lagrangien de phénomènes linéaires (ie L quadratique) conduit à l’équation des ondes : et un résultat important : le tenseur énergie-impulsion Lagrangien qui ne dépend pas explicitement de xµ : [pic] Equations d’Euler-Lagrange [pic] • Démonstration : [pic][pic] Tenseur énergie-impulsion : [pic] Propriété : [pic]

écoulement incompressible : le champ des vitesses satisfait à : div(v )  0 .  L’équation de Navier – Stokes pour un fluide visqueux newtonien incompressible Dv   grad ( P)   g  (v ) . dans le champ de pesanteur :  Dt  L’équation d’Euler pour l’écoulement parfait d’un fluide non visqueux dans le Dv   grad ( P)   g . champ de pesanteur :  Dt  Forme simple de la relation de Bernoulli : Pour deux points A et B d’une même ligne de courant, dans un écoulement parfait et