Formule d'Euler

C412 = 495. Noter l’équivalence au problème de comité : On choisit 4 positions (membres) sur 12. Généralisation: code binaire de longueur n contenant k fois « 1 », 0 ≤ k ≤ n: Ckn. 6 I.2.d. Propriétés des coefficients binomiaux Théorème : (Formule du binôme de Newton ): (a + b ) Exemples (a + b)0 = 1 n k = ∑ Cn a n − k b k k =0 n (a + b)1 = C10 a + C11b = a + b (a + b)2 = C20 a 2 b 0 + C21a 1b1 + C20 a 0b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b)3 = C30 a 3b 0 + C31a 2 b 1 + C32 a 1b 2 +

− ) u v (unité graphique 2 cm), représenter les points A, B et C. b) Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ? c) Déterminer le centre de gravité de cette figure. 3 EXERCICE 2 1) 1ère solution. D’après la formule du binôme de newton, on a 6 6 0 6 5 1 6 4 2 6 3 3 6 2 4 6 1 5 6 0 6 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i + 1 i 0 1 2 3 4 5 6 (1 + i)6 = = 1 + 6i − 15 − 20i + 15 + 6i − 1 = −8i. 2ème solution. Mettons 1 + i sous forme trigonométrique et pour cela

b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b bb b bb bb b bb b bb b bb aujourd'hui il nous est arrivé quelque chose d'incroyable avec Léa Roissam, nous sommes sorties de cours de physique en ayant compris le cours de A à Z ou plutôt de formule développée à formule semi-développée !! et encore mieux 8.5/ 10 et 8/10 en anglais, j'ai encore du mal a y croire ! ^^ léa, on est des douées ! * Corinne Ryckébush-Trognon a une nouvelle passion : Les Barbapapas ! il lui manque actuellement Barbouille,

tel que A = aI + B . Calculer B 2 et B 3 . 2. Montrer que pour tout n ∈ N, n ≥ 2, on a An = an I + nan−1 B + 3. Retrouver la valeur de An à l'aide de la formule du binôme de Newton.  6 4 0 Exercice 10 : Soit A =  −4 −2 0 . Soit B = A − 2I . 0 0 2 2 n 1. Calculer B . En déduire B pour tout n ∈ N, n ≥ 2.   2. En utilisant la formule du binôme de Newton, déterminer An en fonction de n ∈ N. 0 6 0  0 0 . 8       1 1 0 −2 4 5 1 2 1 1 1 2 Exercice 11 : Soient A =  −1 7 2 , P

A ) = ----------------------- . p(B) 92 cours savoir-faire exercices corrigés Remarque : comme A B = B A, alors p ( A B ) = p B ( A ) × p ( B ) = p A ( B ) × p ( A ) ( p ( A ) ≠ 0 et p ( B ) ≠ 0 ). p B ( A ) = 1 – p ( A ). 3. Formule des probabilités totales { B 1, B 2, …, B i, …, B n } est une partition de E si :  ∀i ∈ , 1 i n , B i ≠ ∅   ∀i ∈ , ∀j ∈ , i ≠ j , B i B j = ∅   B1 B2 … Bi … Bn = E . Si { B 1, …, B n } est une partition de E et si p ( B i ) est non nul pour

l'adhérence est incluse dans C (0 < r < r < |h| < R < R). On peut alors écrire la formule de Cauchy sur le lacet γ constitué du cercle Cr parcouru dans le sens direct, de la portion de rayon i [r , R ] joignant Cr et CR du cercle CR parcouru dans le sens indirect et de la même portion de rayon parcourue en sens inverse i [R , r ] (voir g 2). Ce lacet est homotope au point h dans C , on peut donc lui appliquer la formule de Cauchy (??) et il vient : g (h) = − 1 2iπ Cr g (z) 1 dz + z−h

par rupture d’une liaison.   2 Formule topologique : La chaîne carbonée est représentée par des lignes brisées dont les extrémités et les sommets symbolisent chacun un atome de carbone. Selon que la liaison est simple ou multiple, la ligne est simple, double ou triple. Les symboles des atomes sont représentés, sauf ceux des atomes de carbone et des atomes d'hydrogène qui leur sont liés. Exemple : molécule de propan-2-ol Formule semi-développée Formule topologique 3. Représentation

Chaîne linéaire : le nom se forme en associant un radical et la terminaison ANE. Le radical indique le nombre d'atomes de carbone de la chaîne. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Radical  EXERCICE 1 : Nommer et écrire la formule semi développée des composés suivants en supposant qu'ils sont tous à chaîne linéaire : C5H12, C6H14, C7H16, C8H18 et C9H20. Vérifier les réponses à l’aide de l’animation : http://www.ostralo.net/3_animations/swf/alcane.swf Chaîne ramifiée :

Les matrices F recherchées sont donc les matrices de la forme :   0 0 0   e f . F = d −d −e −f Exercice 5 - Produit non commutatif - L1/Math Sup Les matrices A= 0 1 , 0 0 B= 1 0 0 0 conviennent. Exercice 6 - Puissance n-ième - avec la formule du binôme - L1/Math Sup On commence par calculer les premières valeurs de B n . On a   0 1 0   B =  0 0 1 , 0 0 0   0 0 1   2 B =  0 0 0 , 0 0 0   0 0 0   3 B =  0 0 0 . 0 0 0 On en déduit alors par récurrence que, pour

. . . . . . . . . . . . . . . . . . page 18 2.1 Les coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 18 2.2 La formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 20 2.3 Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .