Formule d'Euler

coefficients binomiaux de manière combinatoire, on verra que l’on peut convenir que n k = 0 pour k > n. Proposition 2.4 Propriétés des coefficients binomiaux Symétrie des coefficients binomiaux Soit (n, k) ∈ N2 tel que k ❶ ➀ ❶ n k 2 Formule de Pascal Soit (n, k) ∈ (N∗ ) tel que k ❶ ➀ ❶ n k 2 Relation utile Soit (n, k) ∈ (N∗ ) tel que k = = n. ❶ ➀ ➀ ➀ ❶ n−1 k n. n k k n n−k + ❶ n. ➀ n−1 k−1 ➀ n−1 =n k−1 Remarque. Ces

6   3.2.2. Formule du binôme. Les formules précédentes permettent de dresser un tableau particulier qui donne les quand on fixe et qu’on fait varier de 0 à . Cette construction particulière s’appelle le Triangle de Pascal. Il est donné ci-dessous : Fig. 3 : Triangle de Pascal Le côté gauche de ce triangle représente les coefficients et le côté droit les , n étant le numéro de la ligne. Le sommet haut du triangle étant la ligne , le coefficient est donc . D’où la formule du Binôme de Newton

0 z=0 −8x − 8y + 8z = 0 ⇔ • v ∈ E4 = Ker(f − 4Id) ⇔ . Donc E4 = Vect(v3 ) où v3 = (1, −1, 0). y = −x  z=0 Dans la base B = (v1 , v2 , v3 ), la matrice de f est D = diag(0, 1, 4). 1 où P =  −2 0   1 1 0 −1  et donc 1 0 3) Soit m 1. Les formules de changement de bases permettent d’écrire A = PDP−1 en notant B0 = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 , Am = matB (fm ) = P × matB0 (fm ) × P−1 = PDm P−1 .   v1 = e1 − 2e2 v2 = e1 + e3 4)  v3 = e1 − e2 m 1,   e2 = −v1 + v3 e1 = −v1

16. 2. En déduire que 20098 001 ≡ 2009 mod 16. Partie B On considère la suite (un ) définie sur N par : u0 = 20092 − 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = (un + 1)5 − 1. 1. a. Démontrer que u0 est divisible par 5. b. Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel n, 3 2 4 un1 = un un + 5 un + 2un + 2un + 1 . c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un est divisible par 5n+1 . 2. b. Démontrer alors que 20098 001 ≡ 2009 mod 625. Partie

FORMULE D'INVERSION DE PASCAL         ¡ Soient (ai) 0 i n et (bi) 0 i n des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que : p k =0 ¢ ¡ ap = Alors : p k C p bk ∀p ∈ 0, n k =0 Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n : j ¢ ¡ k =0 p • D'après la relation ap = k =0 k C p bk particularisée avec p = 0, on obtient : a0 = b0. D'où ℘(0). • Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc

l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Formule sommatoire de Poisson L’objectif de ce problème est d’établir sous quelles conditions la formule sommatoire de Poisson est vraie et d’en étudier certaines applications. Les fonctions considérées dans ce problème sont toutes définies sur R et à valeurs dans C. On note L l’espace vectoriel des fonctions

X- Combinatoire L’essentiel de la combinatoire tient en trois formules, ce qui est fort peu. Encore faut-il ensuite arriver à les appliquer correctement, ce qui est nécessite un certain entraînement. Dans ce contexte, ce que l’on appelle les combinaisons joue un rôle p majeur. On appelle Cn le nombre de façons de choisir un paquet de p objets dans un p ensemble de n objets. Signalons que ce nombre, que nous notons Cn , s’écrit aussi, dans la littérature mathématique récente, et américaine à l’origine

fonction est solution d’après 12.-. Ainsi : f solution ⇔ (∀x ∈ R, f(x) = −1) ou (∀x ∈ R, f(x) = 1) ou (∃a ∈ R/ ∀x ∈ R, f(x) = tanh(ax)). http ://www.maths-france.fr 5 c Jean-Louis Rouget, 2006. Tous droits réservés. ALGEBRE Partie I : 1.- La formule du binôme de Newton fournit : 2n A= k=0 2n 2n k X −1= k 2n k X =X k k=1 2n k=1 2n k−1 X =X k 2n−1 k=0 2n Xk . k+1 Ainsi, 2n−1 2n Xk . k+1 A = XB où B = k=0 2n 2n B est un polynôme de degré 2n − 1, de coeffcient dominant = 1, et de

images soit k= 0 6 5 2 n1 2 Choisissons l’élément x ( n choix possibles ), il y a alors Donc card Q=∑ anagrammes de PERE.  et il y a  parties parties A de k éléments, n 2n −k =1 2 n=3 n d'après la formule du binôme de Newton k parties de cardinal k donc le cardinal cherché est 1x n= ∑ n x k k =0 k 2 n− k et en dérivant des 2 côtés : donnant la valeur 1 à x , on obtient : n n n ∑k k =0  n 1x n−1 =∑ k n x k

L'as de la Formule 1 ne fait pas exception aux grands champions de la décennie écoulée : il a porté les records à un niveau jamais atteint (7 titres, 91 victoires) et fait entrer son sport dans une nouvelle dimension. En usant de méthodes parfois discutables. 2000 : une fin, un début. Il tord son volant à trop le marteler de joie à Suzuka. La F1 sait quand il se passe quelque chose de grand et la scène rappelle celle du sacre d'Ayton Senna en 1988, en ce lieu qui ne s'offre qu'aux seigneurs de la