Formule d'Euler

sur un plan incliné 76 4.3. Cercle de Mohr 77 4.4. Contraintes principales 81 Exercices 88 Chapitre 5 Flambement des Poutres Droites 5.1. Introduction 91 5.2. Définition 91 5.3. Charge critique d’Euler 91 5.4. Influence des liaisons aux appuis 95 5.5. Contrainte critique d’Euler 97 5.6. Critères de dimensionnement 99 103 Exercices Références Bibliographiques 107 Annexe 1.1 110 Annexe 1.2 114 - iv - Liste des Figures Fig. 1.1- Section plane. 4 Fig. 1.2- Translation

nombres complexes. ▶ Calculs dans C : binôme, série géométrique, série arithmétique, conjugaison, module, propriétés. ▶ L’exponentielle complexe : rappel sur l’exponentielle réelle, définition de θ , propriétés (équation fonctionnelle, formule de Moivre, formules d’Euler, etc.), forme polaire d’un nombre complexe, argument d’un nombre complexe, propriétés, prolongement de l’exponentielle à C, le groupe (U, ×). ▶ Equations du second degré : racines carrées d’un nombre complexe non nul, méthode pratique

partir de p et q. Puisque toute arête joint deux sommets et possède deux faces adjacentes, nous devons avoir : L'autre relation entre ces valeurs est donnée par la formule d'Euler : Ce fait non-trivial peut être démontré d'une grande variété de manières (en topologie algébrique il découle de ce fait que la caractéristique d'Euler de la sphère est 2). Mises ensemble, ces trois relations déterminent complètement S, A et F : Note : échanger p et q intervertit F et S laissant A inchangé (pour

Dérivées secondes . 1.3.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 7 8 8 8 9 9 11 11 11 13 13 14 15 15 16 2 Caractérisation des extrema 2.1 Equation d’Euler, cas général . . .

répulsifs. . . . Encore à propos de la méthode de Newton. . Le cas des systèmes. . . . . . . . . . . . . . . 4 Approximation polynômiale. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Méthode d'interpolation de Lagrange. Méthode des diérences divisées. . . . Formule d'erreur. . . . . . . . . . . . . Interpolation de Tchebychev. . . . . . Interpolation par intervalles. . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ight)\right). \end{align} La formule de Taylor avec reste intégral permet de montrer que ce développement est encore valide pour x=1. On obtient ainsi la somme de la série harmonique alternée. D'autre part, notons que Leonhard Euler a hardiment appliqué ce développement à x= -114. Sans se soucier de la convergence, il montre que la série harmonique est le logarithme naturel de 1/(1-1), c'est-à-dire de l'infini. Aujourd'hui on formalise cette remarque d'Euler par : « la série harmonique tronquée

5! 5! 6 ———————————————————— Exercice 3 √ Avec quelle pr´cision peut-on calculer 115 ` l’aide de l’interpolation de Lagrange, si on prend les points : x0 = 100, e a x1 = 121, x2 = 144. Corrig´ : e ———————————————————— Exercice 4 1. Utiliser la formule d’interpolation de Lagrange pour trouver la cubique passant par 0.4, 0.5, 0.7, 0.8 pour f (x) = sin(x) 1 2. Mˆme question pour f (x) = e tan x Corrig´ : e ———————————————————— Exercice 5 √ Soit f (x) = 2 + x 1. Determiner le polynˆme P (x) Lagrange

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Formules d’erreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 La formule de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Formules de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Formules composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 La formule de sommation d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 La méthode d’intégration

Formules de trigonométrie circulaire Soient a, b, p, q, x, y ∈ R (tels que les fonctions soient bien définies) et n ∈ N. La parfaite connaissance des graphes des fonctions trigonométriques est nécessaire. Relations fondamentales cos2 (x) + sin2 (x) = 1 Arccos(x) + Arcsin(x) = π 2 1 d − dx cotan(x) = 1 + cotan2 (x) = sin2 (x) 1 Arctan(x) + Arctan x = signe(x) × π 2 d dx tan(x) = 1 + tan2 (x) = cos1(x) 2 Arctan(x) + Arccotan(x) = π 2 x en radians 0 Arccos(−x) = π − Arccos(x) π 6 π 4 π 3

PROPRIETES DES METHODES NUMERIQUES . . . . . . . . LES PRINCIPALES METHODES NUMERIQUES . . . . . . . . METHODES A UN PAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.1 Méthodes d'Euler explicite et implicite . . . . . . . . . . . III.7.2 Méthode d'Euler amélioré . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.3 Méthode d'Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.4 Méthode de Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . III.7.5 Méthodes de Runge et Kutta . . . . . . . . . . . . . . .