Chapitre 7 : Le formalisme « action » et les phénomènes d’ondes

1. Définition - Explication en Espace 1D : exemple de la corde vibrante

2. Définition 3D en Espace + 1D en temps

3. L’Action sur l’exemple du champ scalaire (« spin 0 »)

4. L’Action pour un champ vectoriel (« spin 1 »)

1. Action 1D : la CORDE VIBRANTE : Bilan énergétique et Action

Energie cinétique :

Energie potentielle : car

Lagrangien :

Action :

PRINCIPE des Systèmes dynamiques :

l'action est stationnaire par rapport à v(x,t) solution

Mise en oeuvre : si v(x,t) est solution des équations de la dynamique • pour toute variation (v(x,t) de v(x,t) qui respecte les Conditions aux Limites, • la variation de S est d'ordre supérieur :

Calcul pratique : (v(x,t) induit (v,t(x,t) et (v,x(x,t)

[pic] au premier ordre : [pic][pic]

de même, au premier ordre [pic][pic]

Variation de l'action :

(v(x,t) respecte les conditions aux limites : (v(0,t) ( (v(L,t) ( 0 intégration par partie sur x du terme en T :

intégration par partie du terme en µ (attention aux Conditions Initiales : ici 0)

Variation de l'action :

Principe de stationnarité :

⇨ co-facteur de (v dans l'intégrande = 0 : [pic]
... équation des ondes !

Résumé

1. Définir un DDL v(x,t)

Calculer son Lagrangien L (L= K –W dans les cas à substrat mécanique)

Action :

PRINCIPE : l'action est stationnaire par rapport aux variations (v(x,t)

2. Extension aux systèmes 3D

Définir un champ A(x,t) (scalaire, vectoriel, tensoriel, …)

Expliciter sa densité lagrangienne L(A, (A, t)

Action :

Utile : formule de Green :
Pourquoi un lagrangien de phénomènes linéaires (ie L quadratique) conduit à l’équation des ondes : et un résultat important : le tenseur énergie-impulsion

Lagrangien qui ne dépend pas explicitement de xµ : [pic]

Equations d’Euler-Lagrange