Exercice Exponentielle

nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique, la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive (la désintégration des noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de paramètre noté aussi lambda), la biologie, la météorologie, … Diagrammes en bâtons : Comme toute loi de probabilité discrète, une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme en bâtons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en

le nombre de patients aux urgences sur une durée ou le nombre de colonies sur une boite de pétri)  Lois continues - Loi uniforme : X appartient à [a;b] et E(X)=(a+b)/2 (loi très peu utile en médecine) Ronéo n°1 – Cours n°1 UE11 4 sur 10 Loi exponentielle : paramètre λ E(X)=1/λ et Var(X)=1/λ² (loi très utile pour les courbes de survie ou en médecine nucléaire pour les désintégrations radioactives) - Loi Normale (ou de Gauss) : paramètre µ (espérance) et σ² (variance) (très très utilisée, d’autant

simuler n’importe quelle loi, à condition d’avoir un algorithme pour calculer F − . Rappelons que lorsque X est à densité, F − est la fonction inverse (au sens fonction réciproque) de la fonction de répartition. Exemple : simulation d’une loi exponentielle de paramètre λ. La fonction de répartition est x → 1 − exp(−λx), sa réciproque est x → − λ1 ln(1 − x). D’où l’algorithme (car U et 1 − U ont la même loi) : U = rand(1); X = −log(U )/lambda; 3. Méthode du rejet Il y en a plusieurs versions

e e e et d’une loi exponentielle ε(0, 1). Pour ce faire, nous avons trac´ ces densit´s sur l’histogramme : e e 3 Estimation non param´trique de la densit´ e e On utilise les donn´es pour tracer la densit´ ci-dessous : e e Densit´ des observations e Comparons maintenant avec les r´sultats trouv´s dans la question pr´c´dente : e e e e Densit´s ”possibles” rajout´es e e On remarque que l’on ne peut pas choisir entre la densit´ de la loi exponentielle et celle de la loi

vrai ou faux, garçon ou fille. 2- loi de poisson : elle est utilisée pour déterminer le nombre d’événement indépendant se produisant dans un laps de temps. Exemple : l’arrivée des clients à un guichet, gestion des files d’attentes. 3- loi exponentielle : elle est utilisée quand on s’intérèsse au temps d’attente entre 2 évènements. Exemple : temps inter arrivé sur un guichet. Gestion des files d’attentes. 4- loi normale : elle est un peu la loi universelle, car elle peut s’utiliser dans un

tourisme puisque le nombre de nuitées des touristes profite à l’économie du territoire. Le point de départ des arrivées touristiques est 1960 avec l’émergence du tourisme de masse et l’avènement des tours operateurs. Toutefois la croissance exponentielle à connu des ralentissements de 1974 à 1976 dû aux crises pétrolières et aux guerres (guerre du golfe). La deuxième période est comprise entre le début des années 80 et 90 (tourisme familial) et enfin la troisième période débuté en 1994 avec le

conduit à une croissance exponentielle de la population, or ceci ne représente pas la réalite, une population ne peut se multplier à l’infini. En effet, comme on le voit sur la courbe ci-dessus, la population passe de 100 individus (t = 0) à plus de 3500 individus (t = 60). Il faut donc corriger ce modèle afin que celui-ci colle mieux à la réalité. 4 2.2 Modèle logistique Verhulst a proposé ce modèle en réponse au modèle de Malthus qui conduisait à une croissance exponentielle de la population. Verhulst

la puissance  de  l'effet  de  levier  qui  est  à  la  source  de  toutes  les  fortunes depuis la nuit des temps. Moyennant  un  investissement  dérisoire, le  MLM  vous permettra  de  passer  d'une  croissance  linéaire   à  une  croissance exponentielle  des  revenus. Le piège "temps-argent" L'effet de levier et la croissance exponantielle La solution LE PIEGE TEMPS-ARGENT Le "piège temps-argent" consiste à échanger du temps contre de l'argent. Impossible de faire fortune dans un tel

ar(X) = Fili`res: GI: S3 e Variables al´atoires continues e 8 3.6.2. Loi exponentielle D´fintion: e Soit λ ∈ R avec λ > 0. Ondit que X suit la loi exponentielle de param`tre λ, si sa densit´ f e e est d´finie par: e λe−λx si x ≥ 0 f (x) = 0 sinon On note en abreg´ X ∼ Exp(λ). e Remarque: On a bien f (x)dx = R 0 +∞ λe−λx dx = −e−λx ∞ 0 =1 Propri´t´: ee Si X suit la loi exponentielle Exp(λ) alors la fonction de r´partition F est donn´e par e e   1 − e−λx si x > 0 F (x)

peut donc en deduire : N(t) = n , Tn  t < Tn+1 Le graphe suivant representeN(t) pour t allant de 0 a 50. 2 Figure 1 { Nombre de sinistres en fonction du temps entre t=0 et t=50 Nous savons que si les inter-arrivees Ei suivent une loi exponentielle de parametre  alors le processus de comptage N(t) suit un processus de poisson de parametre t   Nous allons donc tester si les inter-arrivees peuvent ^etre modelisees par une loi ex- penentielle. Dans un premier temps nous devons trouver