Evidence Rationnelle

un d´veloppement e e e e e d´cimal illimit´. e e Nous admettons donc comme intuitive, l’existence de l’ensemble IR des nombres r´els, e v´rifiant les propri´t´s suivantes: e ee 1 a) IR est un corps commutatif qui contient le corps des nombres rationnels Q. L’addition et la multiplication de IR prolongent celles de Q. I I b) IR est muni d’une relation (dite) d’ordre, not´e x ≤ y qui v´rifie par e e d´finition les propri´t´s suivantes: e ee i) ∀x ∈ IR, x ≤ x, (r´flexivit´). e e ii) ∀x, y ∈ IR, x ≤ y

Next Previous Contents Cours utilisateur UNIX Olivier Hoarau V1.0, 27 décembre 1999 Ce document est un essai de vulgarisation d'UNIX. Il est destiné à ceux qui l'utilisent déjà mais aussi aux débutants qui voudraient en apprendre plus sur ce système d'exploitation qui est en train de se populariser à vitesse grand V avec l'explosion de Linux. La dernière version de ce document est consultable sur le site officiel http://www.linux-france.org/article/ohoarau. La version en construction se trouve

(il y'en beaucoups ) ou une intégration par partie ou d'autres ; dans la suite on va donner une série de méthodes concérnant certaines classe de fonctions : 1. −du 1+u2 = − arctan(u) + c = − arctan(cos(x)) + c. P Intégrale d'une fraction rationnelle : Q . On procède par étapes ; -1er Etape : Si deg(P ) ≥ deg(Q) ; on fait d'abord une division Euclidiènne ona :P = E.Q + R R(x) P (x) Donc on a : Q(x) = E(x) + Q(x) ; avec ; deg(R) < deg(Q) -2eme Etape : On fait la décomposition en éléments

les nombres rationnels ( ℚ ) existent, quelles sont les équations ci-dessous qui ont des solutions : ( Barrer les équations que l'on ne peut pas résoudre ) 3–x=7 9x – 5 = 13 x² = -1 2x + 3 = 5 3x² = 9 6x + 7 = 6x + 5 4x = 5 2x² = 8 −4 x7=  2 Non 3x = -1 x÷4=5 3x = 0 2. Entourer la bonne réponse : L'ensemble ℚ permet-il de résoudre toutes les équations ? Oui Si on additionne deux rationnels, obtient-on un rationnel ? Oui Non Si on soustrait deux rationnels, obtient-on un rationnel ? Oui Non

positifs, négatifs ou zéro : autrement dit l’ensemble des nombres entiers, nombres relatifs (fractions ou ratios : nombres rationnels), nombres irrationnels (à savoir les nombres qu’on ne peut pas présenter comme le rapport de deux nombres entiers), et les nombres qu’on ne peut présenter ni en forme de fraction de deux nombres entiers ni en forme de racine d’un nombre entier ou rationnel. Exemple de nombres réels : - 6 ; 25 ; -3/4 ; 12,17 ; (- 6 ) ; π ; log5 ; sin56° …. NB la racine carrée de -1 à savoir

Considérons également que x0 ∈ �� et �� ∈ ��. On peut former la fonction composée de f et g : E → F → G x → f(x) → gof(x) = g(f(x)) Si lim�� 0 �� = �� et lim�� �� = �� , alors lim�� 0 ������ = �� �� �� Exercice 1 : Application à l’étude des fonctions rationnelles, calcul de P(x)/Q(x) qd x→ +∞ lim�� →+∞ 5x+x 6 x+3x 6 −x 3 =? Conseil : on ordonne selon les puissances décroissantes de P(x) et de Q(x) puis on factorise par le terme de plus haut degré. Exercice 2 : trouver les limites en +∞ des fonctions

vers +∞ ou −∞ • La quantité P(a) si x tend vers a. Exemples : • • lim (−3x3 − x + 2) = lim (−3x3) = −3 lim x3 = +∞ car lim x3 = +∞. x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ lim (x2 + 1) = 5. x →2 3) Limites de fonctions rationnelles Une fonction rationnelle ƒ est un quotient de deux fonctions polynômes. Sa limite est donnée par : • la limite du rapport des termes de plus haut degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité ƒ(a) si x tend vers a et si ƒ est définie en a. Une étude plus

Résolution dans N de l’équation x + 7 = 6. • Résolution dans Z de l’équation 3x = 1. Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les entiers relatifs, on obtient alors x = −1 Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les nombres rationnels, on 1 obtient x = . 3 • Résolution dans Q de l’équation x2 = 2. • Résolution dans R de l’équation x2 + 1 = 0. Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les nombres réels, on obtient √ √ x = 2 ou x = − 2. Cette équation n’a pas de solution

Z ⊂ ID) Ensemble des rationnels L’ensemble des rationnels est noté Q Il est constitué des fractions a où a∈ Z et b ∈IN* b * désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls IN Exemple : 2 = 0,181818... est un rationnel car son développement décimal illimité 11 est périodique de période 18 Ensemble des irrationnels Exemple : 2 = 1,41423562... est un irrationnel car son développement décimal illimité n’est pas périodique Ensemble des réels L’ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels

Intégration de fractions rationnelles: décomposition en éléments simples Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute fraction rationnelle img360.png , où img361.png sont de polynômes. On procède par étapes, en illustrant la théorie à l'aide de l'exemple img362.png La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse.