Équations de Lagrange

contrainte budgétaire est représentée par une droite, appelée droite de budget (fig. 1.2). x2 B R P2 N P P1x1 + p2x2 = R M A O R P1 x1 Figure 1.2 La contrainte budgétaire : le cas régulier. La droite de budget a pour équation : p1 x1 + p2 x2 = R ou p x2 = - 1 x1 + R p 2 p 2 La pente de la droite de budget est donc égale en valeur absolue au rapport des prix des deux biens, appelé aussi prix relatif. La négativité de la pente signifie que pour un

vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . 4.4 Le produit mixte (triple product) . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Droites et plans dans l’espace de dimension 3 . . . . . . . 4.5.1 Equation du plan passant par un point P0 et ayant . . . . . . . . . n . . . . . . . . . . 49 49 50 52 52 54 55 58 59 61 61 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

t ͒⁄ℜ 2 0 i=1 où VGi͑ t ͒⁄ℜ* est la vitesse des centres de gravité segmentaires * exprimée dans le repère ℜ colinéaire au repère et dont l’origine 10 X0 est le centre de gravité global G du système entier. Les deux premiers membres de cette équation correspondent à l’énergie de gesticulation appelée aussi énergie cinétique interne (Junqua et al. [11]). Parmi les efforts extérieurs, seuls ceux relatifs à la gravité et aux forces aérodynamiques sont actifs. En effet, les forces de contact avec

résistance des matériaux © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.2 La notion de contrainte La déformation La loi de comportement Définitions et hypothèses en mécanique des structures Équations d’équilibre d’un élément de poutre Études des poutres sous diverses sollicitations 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 Lois de comportement généralisées pour les poutres Poutre en flexion simple Poutre en flexion déviée Poutre en flexion composée

que e e e n f (x) = f (0) + k=1 f (k) (0) xk + xn (x) k! Il existe une formule plus pr´cise, analogue au th´or`me des accroisements finis, si l’on sait que f est e e e (n + 1) fois d´rivable sur ]a, b[: e Th´or`me 6. (Formule de Taylor-Lagrange, ou de Mac-Laurin) Soit f une fonction de classe C n sur [0, x], e e et admettant une d´riv´e d’ordre n + 1 sur ]0, x[. Alors, il existe un nombre c tel que 0 < c < x et v´rifiant: e e e n f (x) = f (0) + k=1 xk (k) xn+1 (n+1) f (0) + f (c)

parameter r(i) raw supplies /malt 75, hops 60, yeast 50/; table a(i,b) input requirements light malt 2 hops 3 yeast 2 dark 3 1 1.67 parameter p(b) selling price / light 2, dark 1/; variables pi profit (maximand) x(b) production level; equations profit defines gross revenue supply(i) input supply constraint; profit.. supply(i).. pi =e= sum(b, p(b) * x(b)); sum(b, a(i,b)*x(b)) =L= r(i); model beer /all/; x.lo(b) = 0; solve beer using lp maximizing pi; 1.5 Notes Le contenu

Résolution pratique des équations aux dérivées partielles David Manceau 2 TABLE DES MATIÈRES 3 Table des matières Introduction 7 1 Exemples classiques d’e.d.p. 1.1 Modélisation, mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Mouvement d’un fluide irrotationnel et incompressible . 1.1.3 Trafic routier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Classification

j|Xn = i) = pi,j Théorème 18. (Equation de Chapman-Kolmogorov (1)) Pour tout n ∈ N, P (n) = P n . Théorème 19. (Equation de Chapman-Kolmogorov (2)) Si (Xn )n∈N est une chaîne de Markov de distribution initiale λ et de matrice de transition P , pour tout n, k ∈ N, pour tout h = 1, ..., k − 1, P(Xn+k = j|Xn = i) = u∈E P(Xn+k = j|Xn+h = u) × P(Xn+h = u|Xn = i), En effet, P k = P h × P k−h pour tout h = 1, ..., k − 1. (k) Corollaire 20. (Equation de Chapman-Kolmogorov (3)) Si pi,j

9 800€ annuel, au lieu des 10 000€ prévus? Quel est le taux qui lui permet d'obtenir la même utilité ? On cherche une solution à l'équation : 1−1i−15 103796,58 = i 9800 Cette équation ne résout pas directement. On utilise alors la simulation numérique via la calcultarice ou une interpolation linéaire de Lagrange (décrite ci-dessous). Rappel (CC) : Si f est une fonction croissante (ou décroissante). Pour résoudre f(i) = α ( α un nombre donné) on procède ➢ Par encadrement de i : a < i < b (i

128 5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6 Thermodynamique des Processus Irr´ eversibles 6.1 Les principes de la Thermodynamique . . . . . 6.2 Thermodynamique et lois de comportement . . 6.3 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 . 138 . 144 . 160 . 164 7 Charges limites 7.1 Chargements potentiellement supportables. Approche statique . . . . . . 7.2 Approche