Équations de Lagrange

choisir n t.q. M. ↑ (M − 1)/(a − 1) 1 a n 1 . M 1.3 Les nombres complexes Alors an 1.3 13 M n. ✷ Les nombres complexes L’extension de Q par IR est de sorte que l’´equation x2 = 2 qui n’a pas de solution dans Q en admet une dans IR. Par contre, l’´equation x2 = −1 reste insoluble dans IR, car x2 0 pour tout x ∈ IR tandis que −1 < 0. C’est pourquoi on appelait `a partir du 16`eme si`ecle une ´eventuelle racine carr´ee de −1 un nombre « impossible » ou « imaginaire

∈Ω⊂ Sous contraintes 0,  On définit le Lagrangien ,   les 1, … ,m , noté 0 associé à ce problème par ∑ sont les coefficients de Lagrange Rq  Si que 121 ∗ est une solution du problème d’optimisation sous contrainte, ll est possible ∗ 0 Apprentissage Statistique - P. Gallinari Optimisation avec contraintes égalités  Th. Lagrange  Une CN pour que ∗, ∗  ∗, ∗   Si  Rq 122 , ∗ ∗ , soit solution de (pb. 1), avec , ∈ est 0 0 est une fonction convexe de

sur un segment (a, b). Caractérisation des fonctions constantes et des fonctions lipschitziennes sur un intervalle. c) Formule de Taylor : formule de Taylor à l’ordre p avec reste intégral pour une fonction de classe Cp + 1 ; inégalité de Taylor-Lagrange. Intégration des développements limités. Théorème de Taylor-Young. d) Intégrales dépendant d’un paramètre. e) Intégrales impropres. 3. séries a) Séries de nombres réels ou complexes : séries convergentes, divergentes, absolument convergentes ; critère

d’utilité totale =0= ′ U1 dx1 + ′ U2 dx2 Variation d’utilité liée à la variation de bien 1 9 Variation d’utilité liée à la variation de bien 2 Ce qui nous amène à : ′ dx2 U1 − = ′ = k. dx1 U2 Nous pouvons interpréter cette dernière équation. − − Le côté gauche de l’équation correspond à la variation de x2 nécessaire à la préservation de la satisfaction du consommateur lorsque la quantité de bien 1 consommée varie d’une unité. Le côté droit de l’équation correspond au rapport entre la

cours s’int´ resse aux mˆ mes syst` mes mais propose une etude via un mod` le diff´ rent, appel´ e e e ´ e e e repr´ sentation d’´ tat lin´ aire (approche temporelle). e e e Connaissances pr´ alables souhait´ es : notions de syst` mes lin´ aires, equations diff´ rentielles, e e e e ´ e fonction de transfert en p (voire en z), analyse et commande des syst` mes lin´ aires par approche e e fr´ quentielle, quelques bases d’alg` bre lin´ aire. e e e ii Table des mati` res e 1 Introduction 1.1 Notion

degré deux méthodes : - on pose la division euclidienne de A par B ; Dans le cas où B ne possède que des racines simples, on peut écrire R sous la forme et en écrivant cette relation pour les différentes racines de B, on en déduit un système de n équations linaires à n inconnues dont les sont les solutions. On résout ce système et on trouve ainsi le reste de la division suivant les puissances décroissantes de A par B. 7. Décomposition d’un polynôme Seuls les polynômes de IR [X] admettent une décomposition

ez b b f (t)dt ≤ a (7.2) Racines n-i`mes. Pour tout entier n ≥ 1, l’´quation z n = 1 poss`de n racines distinctes, e e e appel´es racines n-i`mes de l’unit´ : ce sont les complexes ωk d´finis par e e e e ωk = e2i ´ (8.1) Equations diff´rentielles lin´aires du premier ordre. Soit a, b, f des fonctions d´finies et e e e continues sur un intervalle I , ` valeurs r´elles ou complexes, la fonction a ne s’annulant pas sur I . a e • Les solutions de l’´quation diff´rentielle

.............................................................................. 227 4.2.5. Le gouvernement ............................................................................................................................. 231 4.3. LES EQUATIONS DE SALAIRE..................................................................................................................... 234 4.4. LES FORCES CENTRIPETES ET CENTRIFUGES EN JEU ...............................................................

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le produit vectoriel (cross product) Le produit mixte (triple product) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Droites et plans dans l'espace de dimension 3 4.5.1 Equation du plan passant par un point 3 P0 et ayant vecteur normal n . . . . . 4 TABLE DES MATIÈRES 4.5.2 Droites dans l'espace de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5 Espaces euclidiens et applications

Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ¹Ö½ºØ Ü Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ò× Þ ½ § ARIº¾¼ Ê ×ÓÙ Ö CCP MP – 2001 г ÕÙ Ø ÓÒ Ý ¾ Ò× Ü´Ü · ½µ´Ü · ¾µ´Ü · µº ¦ Ö ¹Ö ¿℄ § ARIº¾½ Ê ×ÓÙ Ö ¸ ´ Ò× ´ ¦ Ö ¹Ö¾ ½℄ ¿ ¿ µ¾ Ð ×Ý×Ø Ñ Ü Ý ¿Ü · Ý TPE MP – 2002 ½½ ½ On multiplie la premi`ere ´equation par 7 (qui est inversible dans ) pour obtenir Ü Ý , puis un pivot classique donne Ü ¾ et § ARIº¾¾     ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ò³ Ü ×Ø Ô × ÓÙÔÐ ´Ü Ý µ ¾ Æ £¾ Ø Ð ÕÙ Ý ¾ ¦ Ö ¹Ö¾ ¾℄ Supposons que Ü ½ soit une solution. – Si Ü est impair, (comme Ü ½ n’est