Équations de Lagrange

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 [ 02131 ] Polynôme en une indéterminée L'anneau des polynômes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d'inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d'inconnue P ∈ K [X]. [ 02127 ] Exercice 7 X MP Déterminer dans K [X] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Exercice 8 [ 02132 ] Soit P ∈ K [X]. Montrer que P (X + 1) = +∞ n=0 1 (n) (X). n! P Arithmétique des polynômes Exercice

pair. Si a est impair, on peut ´ecrire a = 2a + 1, alors a2 = 4a 2 + 4a + 1 qui est impair. On en d´eduit donc que a est pair, donc on peut ´ecrire a = 2a , ce qui donne 2b2 = 4a 2 et en simplifiant par 2, on obtient b2 = 2a 2 . C’est la mˆeme ´equation que ci-dessus avec a `a la place de b et b `a la place de √ a. Le mˆeme raisonnement montre alors que b est aussi pair. On a donc une contradiction et 2 ne peut pas ˆetre rationnel. Voici d’autres exemples de nombres irrationnels. 1. Le nombre

naturelle de Newton présentent les fondements de la mécanique classique : les notions de force et accélération sont définies, les mouvements des planètes sont expliqués par la force de gravitation. XVIII e et Des mécaniciens comme d’Alembert, Lagrange et Coriolis achèvent de formaliser la théorie à l’aide de formulations mathématiques très proches de celles qui sont actuellement utilisées. Fin du XIX e, début du XX e siècle Alors que la théorie semble atteindre la perfection, elle est

compréhension du cours et faire soit même son évaluation. Les deux premiers chapitres traitent les outils mathématiques notamment les torseurs utilisés pour simplifier l’écriture des équations de la mécanique. Le chapitre trois décrit l’équilibre statique des solides et les différentes liaisons entre les solides et les équations qui les régissent. Le chapitre quatre est consacré à la géométrie des masses donc aux centres d’inertie et aux tenseurs d’inertie des solides. Savoir utiliser le théorème de Huygens

domaine de définition de la fonction f est Df = (x, y) ∈ R2 / xy = 0 . 2.1.3.1 Courbes de niveaux: On considère f une fonction de deux variables à valeurs réelles z = f (x, y) ∈ R ; ∀ (x, y) ∈ Df ⊆ R2 . Les courbes de niveaux Cγ sont données par les équations f (x, y) = c ∈ R ; (x, y) ∈ Df . Exemple: Considérons la fonction z = f (x, y) = x2 + y 2 ; ∀ (x, y) ∈ Df = R2 . Pour tout r ∈ R, on a la courbe de niveau associée est le cercle centré à l’origine et de rayon r donnée par l’équation x2 + y 2 = r2

les domaines impliqués dans un exercice ; cette année la géométrie plane (Constructions type sangaku, distances et aires) passe en tête avec 32 sujets suivie de l’arithmétique (équations et inéquations dans N, calculs sur les fractions) (28 ) et des dénombrements (carrés magiques, marches sur une grille) (19). Les équations et fonctions (linéaires et affines) (11), les inégalités (9) et la géométrie dans l’espace (volumes et aires) (8) sont bien représentée ; par contre les suites (6)), la logique (5)

compte les critères de maximisation de l’information, le modèle choisi est un ECM (Intercept and trend in CE – no trend in VAR) c'est-à-dire avec constante et trend seulement au niveau de l’équation de long terme.et une constante au niveau du VAR (équation du court terme) Les résultats indiquent que les fluctuations de l’investissement privé sont expliquées à 34.99% par les variables du modèle. On constate que le paramètre d’ajustement Lip (-1) nous indique qu’on peut ajuster 33% du déséquilibre entre

réel quelconque. 102 D’autres séries de référence Théorème 6 Pour tout réel x, +∞ k=0 xk = ex . k! Preuve Soit x un réel. Pour tout entier naturel n, du fait que la fonction exponentielle est de classe C ∞ , la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre n permet d’établir l’existence d’un réel un ∈ ]0, 1[ tel que n ex = k=0 xk k! + x n+1 (n + 1)! eun x . n (1) tk k! et . En particulier, si t est un réel positif — de par la positivité de la fonction exponentielle

classes préparatoires au lycée Madeleine Michelis (Amiens) © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053972-7 Table des matières Introduction 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Ensembles, applications Notions de logique Signes S , P Dénombrement — Formule du binôme Équations, inéquations Polynômes Manipulation des inégalités 1 1 5 9 12 18 22 25 Analyse 29 1 Étude de fonctions 1. Recherche de limites 2. Continuité 3. Calcul différentiel 4. Fonctions usuelles 5. Fonctions de deux variables 31 32 42 47 53 56 2 Suites

déduire ∆n (0). Exercice 17 CCP PC a) Calculer [ 03377 ] [correction] a a2 a3 b b2 b3 c c2 c3 c+a c2 + a2 c3 + a3 Sk = i=1 i b) En déduire a+b a2 + b2 a3 + b3 b+c b2 + c2 b3 + c3 Exercice 14 [ 01422 ] [correction] [Identité de Lagrange] Calculer de deux façons : a −b b a c d −d c Calcul par relation de récurrence Exercice 18 [ 01426 ] [correction] Calculer en établissant une relation de récurrence 0  Dn = −1 . . . −1 1 .. . .. . ··· ··· .. . .. . −1 1 . . . 1 0 Exercice