Équations de Lagrange

Racines d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Extraction de racine carr´e par r´solution alg´brique (` ´viter) e e e ae 2.4.2 Extraction de racine carr´e par r´solution trigonom´trique . . . e e e 2.4.3 Equation du second degr´. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.4 Racines ni`mes de l’unit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.4.5 Racines ni`mes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . .

technique des multiplicateurs de Lagrange. Principaux résultats (pour le détail des calculs, voir plus loin) 1. Composition d'un portefeuille efficient: X = G EP + H G, H : vecteur n×1 H vecteur donnant la composition d'un portefeuille de risque minimum ayant une rentabilité attendue nulle G+H vecteur donnant la composition d'un portefeuille de risque minimum ayant une rentabilité attendue égale à l'unité E P 1 G+H a -c H 1 −− c σ P 2. Equation de la frontière efficiente:

211 EXERCICES 214 CHAPITRE 10 • SPIN 220 10.1 Mise en évidence expérimentale 220 10.2 Spin de l’électron 224 10.3 Spin des particules quantiques 232 10.4 Équation de Pauli 237 EXERCICES 242 CHAPITRE 11 • STRUCTURE FINE DE L’ATOME D’HYDROGÈNE 253 11.1 Équation de Dirac 254 11.2 Structure fine du niveau n = 2 260 11.3 Structure fine des niveaux d’énergie 263 11.4 Structure des transitions 265 11.5 Effet Stark 266 EXERCICES

puissances croissantes 66 IV 66 Algèbre linéaire 29 Espaces vectoriels 66 30 Applications linéaires 68 31 Espaces vectoriels de dimension finie 69 32 Applications linéaires en dimension finie 71 33 Matrices 76 34 Calcul matriciel 82 35 Équations linéaires 85 36 Déterminants 88 37 Calculs de déterminants 91 38 Rang de matrices 94 39 Projections 98 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . .

Polynômes Polynômes complexes L’anneau des polynômes Exercice 6 [ 00271 ] [correction] Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que : ∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1 Exercice 1 [ 02127 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X]. Exercice 7 [ 03342 ] [correction] Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ C [X]. On pose M = sup |P (z)| |z|=1 Exercice 2 [ 02674 ] [correction] Trouver

qui impose un débit unité en entrée. 2 La formulation faible (5.1) est équivalente à la formulation variationnelle suivante : Trouver ψ(x, y) − 1 R −→ J(ψ) = 2 Ω (gradψ)2 dω Le potentiel φ et la fonction de courant ψ vérifient donc la même équation, mais avec des conditions aux limites différentes. Exercice : montrez que ce sont deux familles de fonctions orthogonales, i.e. les courbes potentiel φ = cste sont perpendiculaires aux lignes de courant. Les conditions aux limites sur le potentiel

quadratique : dx1,dx2∂2U∂x12∂2U∂x1∂x2∂2U∂x1∂x2∂2U∂x22dx1dx2 4. Egalisation des unités marginales pondérés par les pris La question est de décrire le comportement optimal du consommateur rationnel 1. Contrainte budgétaire Contrainte budgétaire : équation qui impose l’équilibre comptable entre le total des emplois et celui des ressources du consommateur. NB : Le total des emplois est constitué par les dépenses du consommateur NB : le total des ressources Ω est constitué : - du revenu du travail

61 62 66 72 74 77 80 82 85 86 . 86 . 88 . 90 . 91 . 94 . 97 . 98 . 99 . 101 29 Espaces vectoriels 30 Applications linéaires 31 Espaces vectoriels de dimension finie 32 Applications linéaires en dimension finie 33 Matrices 34 Calcul matriciel 35 Équations linéaires 36 Déterminants 37 Calculs de déterminants 38 Rang de matrices 39 Projections 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . . . 40.4 Polynômes

6.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . 6.1.1 Fonction d’une variable réelle à valeur réelle . 6.1.2 Fonction d’une variable réelle à valeur dans Rq 6.1.3 Fonction e Rp à valeurs dans Rq . . . . . . . . 6.2 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Fonction d’une variable réelle à valeur dans Rq 6.2.2 Fonction de Rp à valeur dans Rq . . . . . . . . 6.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 129 129 132 134 135 15. Nombres entiers, nombres rationnels Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 215 215 217 219 220 10. Équations différentielles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 145 145 148 151 153 16. Arithmétique dans Z Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices