Équations de Lagrange

Newton ainsi que certaines identités trigonométriques et hyperboliques sont obtenus.ii In a spectral representation of Sturm-Liouville solutions and its generalized powers Jessica Turcotte Abstract We first introduce the system of Sturm-Liouville equations of the form u′′(x) + q(x)u(x) = λu(x) as well as the eigenfunctions associated with this system. We then define a generalization of the formal powers of the form (x − x0)n, n ∈ N. These generalized powers, denoted by X(n)(x0, x) and X̃(n)(x0, x)

D´eriv´ees et formule de Taylor page 125 15 Int´egration page 135 16 Quelques fonctions usuelles page 144 17 Calcul de primitives page 153 18 Int´egrales impropres page 162 19 Courbes param´etr´ees et d´eveloppements limit´es page 167 20 Equations diff´erentielles page 178 21 Fonctions de plusieurs variables page 189 1 Tous les chapitres sont importants. Le premier chapitre est volontairement bref mais fondamental : il y aura int´erˆet ` a revenir sur les notions de langage math´ematique

9 Exercice 17 Montrer que les solutions des équations du déterminant |B – λA| = 0 et |A–1B – λI| = 0 sont les mêmes. Comment les solutions de cette équation sont-elles liées à celles de l’équation |B–1A – µI| = 0 ? Puisque A est supposée être non singulière, on peut écrire : B – λA = A(A −1 B – λI). Alors, |B – λA| = |A|×|A–1B – λI| Le déterminant de A n’est pas zéro si A est non singulière, de sorte que les solutions des deux équations doivent être les mêmes. B–1A étant l’inverse de A–1B

les exemples les plus proches. La figure II.2 illustre cette situation. Dans notre définition de l’hyperplan, il est possible que différentes équations correspondent au même plan géométrique : est une constante quelconque. Il est donc possible de redimensionner de telle sorte que les deux plans parallèles aient respectivement pour équations : Ces deux hyperplans sont appelés hyperplans canoniques. Ainsi la marge entre ces deux plans est égale à : Chapitre II : Classifieurs SVM

et de transmission mécanique, qui sont la base de la révolution industrielle. Le concept physique d'énergie s'est donc logiquement affirmé au xixe siècle. En 1686, Leibniz montre que la quantité m·v2, appelée « force vive », se conserve. En 1788, Lagrange montre l'invariance de la somme de deux quantités, que l'on appellera plus tard « énergie cinétique » et « énergie potentielle ». Au xixe siècle, on parvient par une série d'expériences à mettre en évidence des constats ou lois : On constate que

au repère local mais exprimée dans le repère inertiel. Le moment cinétique est définit par :𝜎Ԧ𝐺 = 𝐼𝐺 ߗሬ⃗ (2.34)Alors que la vitesse angulaire dans le repère local :ߗሬ⃗= 𝐽 ߟଶ̇ 𝑒Ԧ (2.35)A partir des équations (2.34) et (2.35), on obtient :𝜎ԦG= 𝐼𝐺𝐽 ߟଶ̇ 𝑒ԦOn pose 𝑀𝐺 = 𝐼𝐺 𝐽 et en utilisant l’équation précédente, la dynamique des moments s’écrit :𝑀𝐺̇

β) ⇐⇒ ⇐⇒ β = 13 (−2x + y) 2α + β = y 1 e∗1 (x, y) = 3 (x + y) conclusion : e∗2 (x, y) = 13 (−2x + y) ∗ remarque : si Bc désigne la base canonique de R2 , P = PBBc et Q = PBBc∗ , alors P −1 = t Q. Exercice 15. Polynôme d’interpolation de Lagrange Soit x0 , x1 , .., xn des scalaires distincts deux à deux. Pour j ∈ {0, 1, .., n} , on pose X − xk Lj (X) = nk=0,k=j . xj − xx 1. Calculer Lj (xi ). 2. Montrer que B = (L0 , .., Ln ) est une base de Kn [X]. 3. Calculer L∗j (P ) pour P ∈ Kn

proposition de résolution sont donnés. Le lecteur pourra essayer de trouver d’autres méthodes pour arriver au résultat. Il faut cependant posséder quelques connaissances mathématiques minimales : avoir au moins une méthode pour résoudre une équation et un système d’équations (sont revues la méthode des déterminants et la méthode matricielle) et savoir dériver une fonction (tout au moins les fonctions à une variable). Pour donner des résultats chiffrés et trouver les réponses aux questions

income. More specifically, using M1 as explanatory variable in the inflation equation, we found that in the long run, a one percent increase in M1 would raise inflation by 0.76 percent, a one percent depreciation of the BIF on the parallel markets would raise inflation by 0.28 percent and a one percent increase in real income would reduce inflation by 0.64 percent. Using M2 as explanatory variable in the inflation equation, a one percent increase in M2 would raise inflation by 0.72 percent; a one percent

n−1,1 1 n−p,2 2 n−p,n n n−p Remarque 11 1. Tout sous-espace affine de dimension p, possède une représentation cartésienne sous forme d’un système de rang n − p et de n − p équations. 2. Soit F u n hyperplan affine de E , donc dim(F ) = n−1, par suite, F possède une représentation cartésienne sous forme d’une seul equation, M ∈ F ⇐⇒ α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = β Exemples 12 1. Cas d’un plan affine → − → − Soit E un plan affine muni d’un repère cartésien (O, i , j ). Les sous-espaces affines