Équations de Lagrange

n i=1 ai n i=1 bi n n i=1 ai bi n n (autrement dit, lorsque deux séries de n nombres sont rangés dans l’ordre croissant, le produit de leurs moyennes est inférieur ou égal à la moyenne de leurs produits) 5. * : (a) Démontrer l’identité de Lagrange : n n a2k k=1 b2k k=1 2 n = ak bk k=1 + 1 i<j n (ai bj − aj bi )2 (b) En déduire que le produit de 2 sommes de 2 carrés (parfaits) est encore une somme de 2 carrés, et que plus généralement, le produit de 2 sommes de n carrés est une somme

fonctions dérivables 21 1re année Généralités sur les équations différentielles 60 1re année Logarithmes, exponentielles et puissances 1re année 24 Équations différentielles linéaires 62 1re année et 2e année 9 10 11 12 Fonctions circulaires et réciproques 1re année 21 28 Systèmes différentiels linéaires 2e année 66 Fonctions hyperboliques et réciproques 32 1re année 22 Notions sur les équations différentielles non linéaires 68 1re année et 2e année

1.3 La fonction convert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.1.4 La fonction simplify . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.1.5 Quelques exercices de manipulation d’expressions . . . . . 96 6.2 R´esolution d’´equations et de syst`emes d’´equations . . . . . . . . . 97 6.2.1 R´esolution exacte : la commande solve . . . . . . . . . . 97 6.2.2 R´esolution approch´ee : la commande fsolve . . . . . . . . 99 6.2.3 Exercice avec ces commandes . . . . . . . . . . . . . . . . 99

. 8.4 Polynômes irréductibles de R[X] et C[X] . 8.4.1 Polynômes à coefficients complexes 8.4.2 Polynômes à coefficients réels . . . 8.4.3 Autres polynômes . . . . . . . . . . 8.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Interpolation de Lagrange . . . . . 8.5.2 Approximation locale . . . . . . . . 8.6 Le corps des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

problème est donc: Maximiser u1'X'Xu1 sujet à u1'u1=1 Il s'agit d'un problème classique d'optimisation sous contrainte que l'on peut solutionner par la méthode de Lagrange. On forme le Lagrangien: L = u1'X'Xu1 - λ(u1'u1-1) On dérive par rapport à chacune des p composantes du vecteur u1 ainsi que par rapport au multiplicateur de Lagrange (λ) et on pose les dérivées partielles égales à zéro. 3- Analyse en composantes principales 3 2[ X ′Xu1 − λu1] = 0 u 1′ u 1 = 1 Simplifiant, on trouve: X'X

3 M´ethode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Equations diff´ erentielles 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Equations diff´erentielles du premier ordre 5.3.1 Equations `a variables s´eparables . 5.3.2 Equations homog`enes . . . . . . . 5.3.3 Equations incompl`etes . . . . . . . 5.3.4 Equations lin´eaires . . . . . . . . . 5.4 Equations diff´erentielles du second ordre `a . . . . . 5.5

. Résoudre ce problème de minimisation nous permet de définir l’équation de la frontière efficiente définie par Markowitz. Nous déterminons pour cela le lagrangien : L = ω ′ Σω + λ1 (µp − ω ′ µ) + λ2 (1 − ω ′ e) avec λ1 et λ2 les multiplicateurs de Lagrange. La condition d’optimalité du premier ordre s’écrit : λ1 −1 λ2 ∂L = 2Σω − λ1 µ − λ2 e = 0 ⇔ ω = Σ µ + Σ−1 e ∂ω 2 2 En combinant avec les 2 contraintes, nous avons : ω ′ µ = µp ⇔ ω′ e = 1 µ′ ω e′ ω = µp ⇔ =1 λ1 µ′ Σ−1 µ + λ2 µ′ Σ−1 e = 2µp λ1 e′ Σ−1

L    i=1     λi (ui (xi ) − ui (x∗i )) = 0, ∀ i = 1     γ ≥ 0, ∀ = 1, ..., L   λi ≥ 0, ∀i = 1 (3.12) o` u γ := (γ 1 , ..., γ , ..., γ L ) et λi ∈ R pour tout i = 2, ..., I et γ ∈ R pour tout = 1, ..., L sont les multiplicateurs de Lagrange associ´es respectivement 21 I aux contraintes ui (xi ) − ui (x∗i ) ≥ 0 et r − xi ≥ 0. i=1 0 est une alNous supposons maintenant que x = (x∗1 , ..., x∗i , ..., x∗I ) I−1 ∗ ∗ ∗ location r´ealisable et qu’il existe (λ2 , ..., λi , ..., λI ) ∈ R++

N O B L E S Page 1 C C I E N C E S Université Joseph Fourier - BP 53 - 38041 Grenoble Cedex 9 - Tél : (33)4 76 51 46 95 J.-P. DEMAILLY ANALYSE NUMÉRIQUE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ANALYSE NUMÉRIQUE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Cet ouvrage est un cours d’introduction à la théorie des équations différentielles ordinaires, accompagné d’un exposé détaillé de différentes méthodes numériques permettant de les résoudre en pratique. La première partie présente quelques techniques

(Scriptex : 4e épreuve) — V — Sommaire L’auteur VII Introduction IX Chapitre 1 • Modélisation en économie et gestion 1 Chapitre 2 • Modèle linéaire en univers stationnaire 23 Chapitre 3 • Compléments sur les modèles linéaires 75 Chapitre 4 • Équations multiples en univers stationnaire 127 Chapitre 5 • Tests de racine unitaire et modèles ARIMA 149 Chapitre 6 • Variables intégrées, modèles VAR et cointégration 201 Chapitre 7 • Variables dépendantes discrètes et volatilité conditionnelle autorégressive