Dm Nombre Complexes

exemple la réponse en fréquence H(f) d'un système. Le calcul de la transformée de Fourier pose cependant un certain nombre de problèmes, en effet un ordinateur ne peut traiter que des signaux numériques, ceux-ci sont obtenus après un échantillonnage et une quantification. Par ailleurs la mémoire d'un ordinateur est forcément limitée, il s'ensuit que le calcul porte sur un nombre de points limités. Dans cette partie on se propose de passer en revue l'ensemble des problèmes posés par l'utilisation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2. Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Arithm´tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Analyse 1. Nombres complexes, fonctions trigonom´triques . . e 2. Formules de Taylor, d´veloppements limit´s . . . . e e 3. M´thodes de calcul int´gral . . . . . . . . . . . . . . e e 4. Suites et s´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5. Quelques m´thodes pour

orthonormal direct. P\{O} désigne le plan P privé du point O. 1. Restitution organisée des connaissances On prend comme pré requis les résultats suivants : Si z et z’ sont des nombres complexes non nuls, alors arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) [2] Pour tout vecteur non nul d’affixe z, arg(z) = [2] a) Soient z et z’ des nombres complexes non nuls, démontrer que [2] b) Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b, c, alors : [2] 2. On considère

somme ou une différence. Propriété : Pour tous nombres a, b, c, d et k, on a : II. Identités remarquables 1. Carré d'une somme Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² Démontrons ce résultat : Par le calcul, en utilisant la double distributivité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² 2. Carré d'une différence Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : (a - b)² = a² - 2ab + b² Démontrons

23 Le nombre π C’est une leçon de type « large », c’est-à-dire une leçon de synthèse. 23.1 La fonction exponentielle complexe xn est convergente. n! zn Théorème 23.1 Pour tout nombre complexe z la série est convergente. n! On note f (z) la somme de cette série pour z ∈ C. Lemme 23.1 Pour tout réel x ≥ 0 la série Théorème 23.2 1. Pour tous nombres complexes λ et µ on a f (λ) f (µ) = f (λ + µ) avec f (0) = 1. 2. La restriction de f à R coïncide avec la fonction exponentielle

1-611-09 Modélisation et Optimisation Notes de la séance 2 2.1 Introduction Dans de nombreux contextes, l'utilisation de fonctions comportant une seule variable n'est pas vraiment réaliste. Par exemple, on peut étudier la production avec deux facteurs, où x représente la production dans la compagnie et y celle en sous-traitance, avec un coût total de production donné par la fonction f ( x, y) . Avec une variable, le graphe de f (x) est une courbe dans l’espace à 2 dimensions. Avec 2 variables

1-Circuit_RLC_serie.nb 1 Collège du Sud, Bulle 4-ème année OS PAM Physique et Applications des mathématiques Chapitre interdisciplinaire Circuits électriques à courants alternatifs stationnaires et nombres complexes Aspects mathématiques Á ∼ Ue L2 Á C2 Á ∼ Us Á C1 R1 L1 Version pour Mathematica Edition 2011-2012 Marcel Délèze, Eugène Pasquier www.collegedusud.ch/app/applmaths R2 1-Circuit_RLC_serie.nb 2 ü Chapitre interdisciplinaire Les aspects expérimentaux

− y 0 0 ⎪ ⎪ S S ou ⎨ , c’est-à-dire ⎨ 0 0 ⎪ − 4 yS ⎪ − 4 yS ⎩ ⎩ ⎧y ⎧y 1 1 ⎪ S ⎪ ou ⎨ S , c’est-à-dire yS 0 ⎨ 0 0 ⎪ yS ⎪ yS ⎩ ⎩ ou yS 1. Il faut encore exclure la valeur 1 car sinon a = 0, ce qui est exclu d’après la question 4. a. Tester si un nombre est un carré parfait 1 L’entier n est un carré parfait si et seulement si r est un entier. 2 a. Algorithme 1 pour n = 25. La variable e vaut floor(sqrt(25)) = floor(5) = 5. La condition e*e == n est vraie donc l’algorithme affiche « n est un carré

La dérivée de la fonction f est la fonction f ' définie par f '(x) = page 2 sur 6 Exercice 2 (5 points) 1. On considère l'expression f(z) = z3 ‒ 6z2 + 12z ‒ 16 . a. b. Calculer f(4) . Déterminer les réels a , b et c tels que, pour tout nombre complexe z , f(z) = ( z ‒ 4 ) ( az2 + bz + c ) . c. 2. Résoudre dans  l’équation f(z) = 0 . → → → → Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ) tel que || u || = || v || = 2 cm. Soient A , B et C les points d’affixes respectives

constante solution de (2). Alors D'ou h ' ' t 4 ht =20⇒ 04 c=20 ⇒ c=5 h t =5 2. On détermine la solution de l'équation sans second membre : L'équation caractéristique est y ' ' t 4 y t =0 r 4=0  2=−16⇔=4i On obtient 2 racines complexes conjuguées r 1=−2 i et r 2=2i La solution de l'équation sans second membre est f t = cos2 t sin 2t  La solution générale de l'équation différentielle (2) est égale à la somme de la solution sans second membre et de la solution particulière