Dm Nombre Complexes

Ch 6 Nombres complexes Correction des exercices type Bac Exercice 9 Bac S - Polynésie – Juin 2006 Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct ( O ; [pic] ; [pic] ) ; unité graphique 2 cm. On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = – 1. On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M’ d’affixe z’ définie par : z’ = [pic]. On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice

dans l’évaluation. Le point L est-il l’orthocentre du triangle BGI ? E XERCICE 4 Enseignement obligatoire 5 points → → − − Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v (unité graphique : 2 cm). On considère les points A, B et C d’ affixes respectives : 3 3 zA = − + i , zB = zA et zC = −3. 2 2 Partie A 1. Écrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle. 2. Placer les points A, B et C. 3. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. Partie B Soit f l’application

Mathématiques. TS. 1 heure. Calculatrice interdite. Exercice 1 (3.5 pts) Donner la forme algébrique des complexes suivants : z1 = (3 − 2i)(1 − i) z4 = (1 − i)² 1 z2 = 3 - i z5 = 3i + 4 3 - 2i z3 = 1 - i z6 = (3 + 2i)(1 + i) Exercice 2 (2 pts) Déterminer le module et un argument des complexes suivants : z1 = −5 z2 = 63i z3 = -2(1 − i) Exercice 3 (3 pts) Déterminer la forme trigonométrique des complexes suivants : z1 = 3 + i z2 = 3(-1 + i) 1-i 3 z3 = sin(π/6) + i cos(π/6) Exercice 4 (3 pts) a. Calculer

télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. LES NOMBRES COMPLEXES PLAN I : Généralités 1) Historique 2) Définition 3) Conjugaison 4) Module et inégalité triangulaire 5) Argument a) Définition b) Forme trigonométrique c) Exponentielle complexe d) Formule d'Euler e) Groupes II : Utilisation des complexes 1) Formule de Moivre 2) Linéarisation 3) Réduction de acosθ + bsinθ 4) Racines d'un complexe a) racine carrée, méthode algébrique b) racine nème : méthode trigonométrique

t(1−cos t)−(sin t)2 (1−cos t)2 sin t arctan ( 1−cos t ) cos t−1 1 (1−cos t)2 1+ (sin t)2 (1−cos(t))2 2 cos t−1 (1−cos t) (1−cos t)2 2−2 cos t −1 2 5. On d´duit des deux questions pr´c´dentes que e e e ∀t ∈]0, π], f (t) = 2 π−t . 2 6. Le nombre complexe uθ peut s’´crire sous la forme uθ = 1 − e−i θ . D’o` e u uθ = e−i 2 2 i sin θ θ 2 = 2 sin θ 2 ei π−θ 2 . π−θ 2 θ e Puisque θ ∈]0, π[, on a sin( θ ) > 0. Par cons´quent |uθ | = 2 sin( 2 ) et arg(uθ ) ≡ 2 [2π]. mod 7

QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANT L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Pour Dimitri 1. Calcul intégral facilité par les nombres complexes Par exemple, calculer une intégrale de forme a cosn xdx ou a sinn xdx avec n pair. Nous verrons dans un moment que le cas où n est impair est plus facile et direct. Exemple π I = 02 sin4 xdx. 2 méthodes : (1) la première, en utilisant les formules de trigonométrie de 1ère : dicile et long (on linéarise deux fois). D'abord, on utilise la formule sin2 a = 1−cos(2a) , ce qui

Formulaire de maths 1/6 Formulaire de maths 2/6 Toutes les Maths n´cessaires ` la Physique en d´but de Sup e a e 1 1.1 1.2 Identit´s remarquables e et donc dans Ê : ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Elles sont valables dans Alg`bre e Nombres Complexes ´ · µ ´   ¾ µ  ¾ ·¾ · · ´ · µ¿ ´   ¿ ¿ ·¿ ¾ ·¿ µ ¿  ¿ ¾ ¾ · ¿ ¾ ·¿   ¾ ¾ ¿   · ¾ ¾ ´ · µ´ ´ · µ´   µ   µ Forme alg´brique : Þ Ü · Ý e Forme trigonom´trique : Þ e

nul. Pour la résolution d'une inéquation, lorsque l'on a un produit de facteurs, il suffit d'étudier le signe de chaque facteur et de faire un tableau récapitulatif de signes. Lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, on change le sens de l'inéquation. VI] Identités remarquables a² - b² = (a – b)(a +b) (a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² - 2ab + b² 

1S1 Exercice DM2 pour le samedi 8 octobre 2011 On appelle format f d'un rectangle le quotient de la longueur L par la largeur . ( f  L /  ) 1. Quel est le format d'un rectangle de longueur L  5 cm et de largeur   2 cm ? 2. On considère un rectangle ABCD de largeur   1 cm et de longueur L  x cm. (1 < x < 2) x a) Exprimer (en fonction de x) le format f du rectangle ABCD. b) On découpe dans le rectangle ABCD un carré ABOR. 1 Exprimer (en fonction de x) le format f' du rectangle

Exercice 1: (4 points) Cocher la bonne réponse. Justifier. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, , ) 1) Soit z un nombre complexe non nul d’argument , alors un argument de est a) b) c) 2) L’ensemble des points M du plan d’affixe z tel que z = z + est a) l’ensemble vide b) un cercle c) une droite 3) Soit z un complexe de module 2, M le point d’affixe z et N le point d’affixe z + i z a) ON = 4 b) Le triangle OMN est équilatéral c) Le triangle OMN est rectangle 4) On désigne par x