Bolzano

= ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ n=0 n=0 n=0 (3) On a successivement : (i) 82 Par hypothèse F(zk ) = L( fzk ) = 0. 2. Solutions (ii) Soit K = {z; |z| ≤ r}, compact de D puisque r < 1. La fonction F s’annule sur la suite infinie (zk ) de points de K qui a (Bolzano-Weierstrass) un point d’accumulation dans K. D’après l’analyticité de F, somme de série entière convergente dans D (principe de l’unicité du prolongement analytique), F est nulle sur D, donc tous les coefficients L(ϕn ) de cette série entière sont nuls

born´ees. N´eanmoins une propri´et´e saute aux yeux, au moins pour la premi`ere suite : la “sous-suite” u2n converge (elle est en fait constante). L’existence d’une sous-suite convergente est une propri´et´e g´en´erale des suites born´ees (th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass) que nous citons pour m´emoire. Voyons maintenant quelles op´erations on peut effectuer sur les limites de suites. 109 ´ ` THEOR EME: Si lim un = et lim vn = alors i) lim(aun + bvn ) = a + b ii) lim(un vn ) = iii) Si = 0 alors lim(un

answered anywhere. -Speaking of "Truth by convention," I would remark that my much-cited definition of logical truth therein was meant only as an improved exposition of a long-current idea. So I was not taken aback at Bar-Hillel's finding the idea in Bolzano; I was, though, at recently uncovering an anticipation of my specific exposition, in Ajdukiewicz. file://E:\Incoming\quine.1960.word_and_object.html 28/4/2007 Página 47 de 200 -65Philosophical tradition hints of three nested categories

n. 3 72100 – BRINDISI tel. 0831 521020 fax 0831 523914 Direzione Regionale per l’Emilia Romagna Via Montebello, n. 2/2 40122 BOLOGNA tel. 051 6088811 fax 051 242924 Direzione Regionale per il Trentino Alto Adige Via Galileo Galilei, n. 4/b 39100 BOLZANO tel. 0471 563000 fax 0471 563243 Direzione Circoscrizionale dell’Agenzia delle Dogane di Cagliari Via Riva di Ponente S.n.c. 09123 CAGLIARI tel. 070 66343 fax 070 605101 Direzione Circoscrizionale dell’Agenzia delle Dogane di Catania Viale Dusmet

N´anmoins une propri´t´ e e ee saute aux yeux, au moins pour la premi`re suite : la “sous-suite” u2n converge (elle est e en fait constante). L’existence d’une sous-suite convergente est une propri´t´ g´n´rale des ee e e suites born´es (th´or`me de Bolzano-Weierstrass) que nous citons pour m´moire. Voyons e e e e maintenant quelles op´rations on peut effectuer sur les limites de suites. e 109 ´ ` THEOREME: Si lim un = et lim vn = alors i) lim(aun + bvn ) = a + b ii) lim(un vn ) = iii) Si = 0 alors

contradiction. L’hypoth`se disant que (un ) ´tait convergente est donc fausse. Donc un ne e e converge pas. Montrons que un est born´e. On a que e (−1)n −1 0 1 1/n 1 un 2 donc −1 donc un est born´e. e Rappel 2. Le th´or`me de Bolzano-We¨ e e ıerstrass dit ceci : Soit (un ) une suite de r´els born´e. e e Alors, il existe une sous-suite de (un ) qui est convergente. (C’est un th´or`me tr`s puissant). e e e Ici, on nous demande d’exhiber une sous-suite de un qui soit convergente

Chapitre II. Dérivation Puisque f est bornée dans un voisinage de 0 et √1 x √1 x 2 k = √1 x +1 2 √1 x +1 6 k=1 , (2) implique lim η(x) = 0 et (1) donne alors x→0+ √1 x f (kx) = lim x→0+ k=1 f (0) . 2 II.3.32. Le théorème de Bolzano-Weierstrass (voir, par exemple, II.4.30 (vol. I)) implique que l’ensemble des zéros de f admet au moins une valeur d’adhérence dans [c , d] ; on la notera p. Clairement, f (p) = 0. Soit {xn } une suite de zéros de f convergente vers p. D’après le

que de fuir la chaleur insupportable que nous éprouvions à Bologne, et d'aller prendre le frais au mont Saint-Gothard. En trois nuits nous eûmes traversé les marais pestilentiels de Mantoue et le délicieux lac de Garde, et nous arrivâmes à Riva, à Bolzano, à Inspruck. Mme Gherardi trouva ces montagnes si jolies, que, partis pour une promenade, nous finîmes par un voyage. Suivant les rives de l'Inn et ensuite celles de la Salza, nous descendîmes jusqu'à Salzbourg. La fraîcheur charmante de ce revers

consid` ere une combinaison lin´eaire nulle Ò È ¼. On l’applique `a ½ , ce qui nous donne ½ ¼. On l’applique ½ ´Øµ ´Øµ Ø,   ´Øµ ´Øµ Ø Ú Ð ÙÖ× ¾Ê ¾, Ê· Si la suite ´ÜÒ µÒ¾Æ est born´ ee, alors elle admet une sous-suite convergente · . Alors la (Bolzano-Weierstrass) dont nous noterons la limite, avec ecrire que ´ µ Å. On prend une suite continuit´ e de en permet d’´ de fonctions centr´ ees en et de norme constante (par exemple affines par morceaux, de largeur ½ Ò et de hauteur Ò. ee, alors elle admet

inf´rieure sur K au point y = ynk e ∗ φ(xnk ) = inf Φ(xnk , y) = Φ(xnk , ynk ) . y∈K 296 CHAPITRE 8. EQUATION DE LA CHALEUR ∗ Consid´rons maintenant la suite (ynk )k≥1 ` valeurs dans le compact m´trique K : e a e ∗ d’apr`s le th´or`me de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite de (ynk )k≥1 , e e e ∗ ∗ que nous noterons (yn ), convergeant vers y ∈ K. Par continuit´ de Φ, on a e k ∗ φ(xnk ) = inf Φ(xnk , y) = Φ(xnk , yn ) → Φ(x, y ∗ ) = inf Φ(x, y) = φ(x) , y∈K k y∈K et comme