Bolzano

Montaigne, Paris, La Fère, Beaumont-sur-Oise, Dormans, Epernay, Chalons, Vitry-le-François, Bar-le-Duc, Vaucouleurs, Domrémy, Mirecourt, Epinal, Plombières, Remiremont, Thann, Mulhouse, Bâle, Baden, Constance, Lindau, Augsbourg, Munich, Innsbruck, Bolzano, Trente, Vérone, Vicence, Padoue, Venise, Ferrare, Bologne, Florence, Sienne, Rome, Lorette, Ancône, Urbin, Florence, Lucques, Pise, Plaisance, Pavie, Milan, Turin, Lyon, Thiers, Clermont-Ferrand, Limoges, Périgueux, Mauriac, Montaigne ↑ Essais,

activité d'hébergement afin de compenser la baisse de leurs revenus provenant de leur activité traditionnelle (culture et élevage). La plupart des exploitations agritouristiques sont concentrés dans le nord et le centre du pays : la province de Bolzano et la Toscane offrent à eux seules la même disponibilité d’accueil que dans l’ensemble du sud, y compris les îles. La bande littorale d'Amalfi est d'une grande beauté naturelle et accueille les passionnées de la nature. Elle a été intensivement

sponsors des Jeux olympiques d'été de 1984. Elle perdit de l’argent pendant les jeux "quand l’Amérique gagne, vous gagnez" après que les nations du bloc soviétique aient boycotté les jeux. * 1985 : McDonald's ouvre en Italie, dans la ville de Bolzano. Un établissement plus récent à Rome imposa de nouveaux standards pour les décors intérieurs. * 1986: Ouverture en Turquie, dans la ville d’Istanbul (Quartier Taksim). Le Premier ministre de Turquie, Turgut Özal, fait le déplacement pour l’inauguration

(y)) ≤ dY (f (x), f (xk )) + dY (f (xk ), f (y)) < ε, d’o` l’uniforme continuit´. u e Dans les espaces m´triques, la compacit´ peut se caract´riser ` l’aide de suites. Ce fait fondae e e a mental est l’objet du th´or`me ci-dessous. e e Th´or`me (de Bolzano-Weierstrass). Un espace m´trique (X, d) est compact si et seulement e e e si toute suite d’´l´ments de X admet une sous-suite convergente. ee ´ ´ 2.4. COMPACITE DANS LES ESPACES METRIQUES 19 Preuve : D’apr`s la proposition 3 page 11, toute

d´efinit les deux suites (un ) et (vn ) par les formules √ un+1 = un vn un + v n vn+1 = 2 On v´erifie que ces deux suites sont adjacentes. Pour ´etablir la condition (3) on peut montrer que vn+1 − un+1 ≤ vn − un 2 Th´ eor` eme 3.3.1 (Bolzano-Weierstrass) Soit (un ) une suite born´ee, alors il existe une soussuite de (un ) convergente. D´emonstration. Soit [a, b] avec a < b un intervalle qui contient les termes de la suite (un ). On proc`ede par dichotomie, c’est-`a-dire que l’on va

si ε > 0 est donn´e, alors |an − a| < 2ε pour n n0 , donc |an − am | = |an − a + a − am | |an − a| + |a − am | < ε pour m, n n0 . Si la suite remplit le crit`ere, elle est born´ee et a donc un point d’accumulation a, d’apr`es le th´eor`eme de Bolzano–Weierstraß. Soit ε > 0, et soit n0 tel que |an −am | < 2ε pour m, n n0 . a ´etant un point d’accumulation, il existe un m n0 avec |am − a| < 2ε . Donc |an − a| |an − am | + |am − a| < ε ✷ pour tout n n0 . D´ efinition 2.22 Une suite (an )n∈IIN

est une proposition qu’on pense généralement vraie, sans en avoir de preuve. Exemples : – « l’axiome de récurrence » dans N, « l’axiome de la borne supérieure » dans R. – « le théorème de Pythagore », le « théorème de Rolle », « le théorème de Bolzano-Weierstrass ». – le « lemme des bergers », le « lemme de Gauss », le « lemme des noyaux ». – la « conjecture de Syracuse », la « conjecture de Goldbach » – la « conjecture de Fermat » est devenue le « grand théorème de Fermat » en 1994. Mathématiques

u0 > 0. On d´finit les deux suites (un ) et (vn ) par les e e formules √ un+1 = un vn un + v n vn+1 = 2 On v´rifie que ces deux suites sont adjacentes. Pour ´tablir la condition (3) on peut montrer que e e vn+1 − un+1 ≤ vn − un 2 Th´or`me 3.3.1 (Bolzano-Weierstrass) Soit (un ) une suite born´e, alors il existe une souse e e suite de (un ) convergente. D´monstration. Soit [a, b] avec a < b un intervalle qui contient les termes de la suite (un ). On e proc`de par dichotomie, c’est-`-dire que l’on va

de termes notés xn1 , xn2 , : : :, xnk , : : : appartenant une suite (xn )n2N et tels que n 1 < n 2 < : : : < nk < : : : où nk 2 N avec nk k. Si (xnk )nk 2N converge, sa limite est appelée valeur d’ accumulation de la suite (xn )n2N : Propriété (Bolzano Weirstrass) De toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente. Dé…nition 4.1.5 Une suite (xn )n2N est dite croissante (décroissante), si pour tout n 2 N on a xn+1 xn (xn+1 xn ). Une suite (xn )n2N est dite monotone si elle est croissante

Montaigne, Paris, La Fère, Beaumont-sur-Oise, Dormans, Épernay, Chalons, Vitry-le-François, Bar-le-Duc, Vaucouleurs, Domrémy, Mirecourt, Épinal, Plombières, Remiremont, Thann, Mulhouse, Bâle, Baden, Constance, Lindau, Augsbourg, Munich, Innsbruck, Bolzano, Trente, Vérone, Vicence, Padoue, Venise, Ferrare, Bologne, Florence, Sienne, Rome, Lorette, Ancône, Urbin, Florence, Lucques, Pise, Plaisance, Pavie, Milan, Turin, Lyon, Thiers, Clermont-Ferrand, Limoges, Périgueux, Mauriac, Montaigne ↑ Essais,