Bolzano

compacit´, qui est e e e une propri´t´ topologique, avec des suites. C’est ce que dit le th´or`me de ee e e Bolzano-Weierstrass que nous d´taillons un peu en vue de pr´ciser la situation e e dans un espace topologique g´n´ral (cf. Remarque 3.2.4). e e Th´or`me 3.2.1. Pour une partie A d’un espace m´trique (X, d), les trois e e e assertions sont ´quivalentes : e i) A est compacte. ii) Propri´t´ de Bolzano-Weierstrass : Toute partie infinie de A admet un ee point d’accumulation dans A. iii) De toute suite (xn

une suite partielle croissante. En effet, si n1 est tel que an ∈ E pour tout n ≥ n1 , il existe un indice / n2 > n1 tel que an2 ≥ an1 . Comme an2 ∈ E, il existe un indice n3 > n2 tel / que an3 ≥ an2 . Comme an3 ∈ E, etc ... C.Q.F.D. / Th´or`me 14 (Bolzano-Weierstrass) Toute suite born´e contient une e e e suite partielle convergente. D´monstration. e Cela r´sulte directement des th´or`mes 11 et 13. C.Q.F.D. e e e Th´or`me 15 (Crit`re de Cauchy) Une suite num´rique {an }n∈N est e e e e convergente si

espace vectoriel norm´ E. e Une telle partie est ferm´e born´e. Toute partie ferm´e e e e d’une partie compacte est compacte. Si A est une partie compacte de E et B une partie compacte de F , alors A × B est une partie compacte de E × F. Th´or`me de Bolzano-Weierstrass : de toute suite born´e e e e d’´l´ments de R, de C, de Rn , de Cn on peut extraire une ee suite convergente. ´ Etant donn´e une application continue f de A dans F , e l’image par f d’une partie compacte de E incluse dans A est une partie

innovation.Université de Nantes, France, 16-18 Juin 2011 ;Colloque Vers le plurilinguisme ? 20 ans après, 21-23 Mars 2012, Maison des Sciences de l’Homme d’Angers. Conférenciers invités Bernard Lahire – ENS Lyon, France Rita Franceschini – Université de Bolzano, Italie Yves Lenoir – Université de Sherbrooke, Canada Comité scientifique du projet (en cours de constitution) Ana Isabel Andrade - Université d’Aveiro (Portugal) Françoise Armand - Université de Montréal (Canada) Jacques Audran - INSA de Strasbourg

convergent toutes vers la même limite l, on peut conclure que (u n ) converge vers l si tout u n est un terme d'une des suites extraites étudiées. Par exemple, si (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers l, alors (u n ) converge vers l. 2.5 Théorème de Bolzano-Weierstrass De toute suite bornée de réels, on peut extraire une sous-suite convergente. Analyse dans R 35 11 Suites numériques 3. 3.1 Suites monotones Définition u n pour tout n ; u n pour tout n ; décroissante si u n+1

Keble - Oxford ................................................................................................................................................................................. 43 3.13 Bâtiment administratif : Conseil municipale - Bolzano ........................................................................................................... 44 3.14 Exemples d’application au Pays-bas................................................................................................

n’était pas applicable, car la situation était purement interne. Les faits: un Italien de la province de Bolzano peut invoquer la LCT contre une compagnie bancaire privée de la même région. La participation au recrutement, organisé par cette compagnie, était soumise à la possession un certificat de bilinguisme italien-allemand. Or, celui-ci est délivré par l’administration de la province de Bolzano à l’issue d’un examen qui ne peut avoir lieu que dans cette province. Selon cette procédure, M. Angonese

(Australie) Pologne Lombardie (Italie) Navarre (Espagne) Australie occidentale (Australie) Belgique Allemagne Massachusetts (États‑Unis) Viêtnam Communauté germanophone (Belgique) Nouvelle-Galles du Sud (Australie) Castille-et-León (Espagne) Bolzano (Italie) Connecticut (États‑Unis) Autriche Pays basque (Espagne) Australie Madrid (Espagne) Queensland (Australie) La Rioja (Espagne) Irlande Slovénie Victoria (Australie) Émilie-Romagne (Italie) Danemark Nouvelle-Zélande Asturies (Espagne)

météorologique considérée. températures (comparaison des périodes 19712000 et 2071-2100) sont maximales (plus de 4.5°C). Le réchauffement simulé diminue progressivement vers le Nord : il s’échelonne entre + 4.9°C pour Nice (France) et + 2.8°C pour Bolzano (Italie). Selon des résultats de Modèles Climatiques Régionaux (RCM), les températures 2 Pour des explications sur les différents scénarios, voir http://www.ipcc.ch/pdf/special-reports/spm/sres-en.pdf 3 M. Beniston, communications personnelles

Th´or`mes d’existence de limites e e Toute suite croissante major´e (un ) converge, et e lim un = sup un . n n 9 Extension au cas d’une suite croissante non major´e. e Suites adjacentes. Th´or`me des segments emboˆ es. e e ıt´ Th´or`me de Bolzano-Weierstrass : de toute suite born´e e e e de nombres r´els, on peut extraire une suite convergente. e f ) Br`ve extension aux suites complexes e Suites ` valeurs complexes ; parties r´elle et imaginaire a e d’une suite ; conjugaison. Suites born´es