Bolzano

converge aussi vers l. Valeur d’adhérence On dira que a est une valeur d’adhérence d’une suite (un )n∈N si et seulement s’il existe une suite extraite telle que uσ(n) −−−−→ a n→+∞ c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Théorème de Bolzano-Weiertrass De toute suite bornée de R on peut extraire une suite convergente. 2.5 Fonctions réelles de la variable réelle Parité Soit X ⊂ R vérifiant x ∈ X =⇒ − x ∈ X Une fonction f est paire si et seule∀ x ∈ X, f (− x) = f ( x) ment si elle vérifie

d’une suite convergente est convergente et a même limite. 2) Toute sous-suite d’une suite de Cauchy est de Cauchy. 3) Toute suite croissante possédant une sous-suite convergente est convergente. Rappelons enfin le théorème suivant : 2.1.16 Théorème. (Bolzano-Weierstrass) De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente. Démonstration. On considère une suite bornée (sn )n∈N et on suppose que pour tout n ∈ N, a+b a+b a ≤ sn ≤ b. L’un au moins des deux intervalles moitié, [a, ] et

Green-Riemann e e x z = 2a Trouver l’´quation des plans tangents ` la surface e a = 3y − x 65 5 QUESTIONS DE COURS ANALYSE Propri´t´s des suites monotones. Th´or`me des segments emboˆ es. ee e e ıt´ Enonc´ et d´monstration du th´or`me de Bolzano-Weierstrass. e e e e Enonc´ et d´monstration du th´or`me de C´saro. e e e e e Fonction r´ciproque de sinus hyperbolique; son expression en logarithme. e Th´or`me des s´ries altern´es: ´nonc´ et d´monstration. e e e e e e e Montrer que si deux s´ries

sécurité ayant été effacés ; il semble aujourd’hui impossible de pouvoir les identifier. Pourtant nous avons recueillis quelques témoignages pouvant nous apporter quelques éléments de réponse. Justement voici l’un d’entre eux de la part d’Arthur Bolzano ancien élève de première de ce lycée, qui nous raconte comment il a vécu cette journée :  Tout avait commencé normalement ce jour là, les élèves de première dont je faisais parti se préparaient normalement pour leur épreuve de l’après midi. Notre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Friedrich Bessel, 1784-1846. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Bernard Bolzano, 1781-1848. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 ´ Emile Borel, 1871-1956. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ee e d’une variable, les fonctions R → R. Rappelons quelques r´sultats impore tants de ce calcul. a) Le crit`re de Cauchy. e Une suite {xn }n∈N num´rique est convergente si et seulement si e n,m→+∞ lim |xn − xm | = 0. b) Le th´or`me de Bolzano-Weierstrass. e e Toute suite {xn }n∈N de points d’un intervalle compact [a, b] contient une suite partielle convergeant vers un point de cet intervalle. c) La propri´t´ des valeurs extrˆmes. ee e L’image d’un intervalle compact par une fonction continue

tatouées. Ces marques semblent avoir une fonction médicale plus qu’ornementale! (Trajet de point d’acupuncture, traitement contre l’arthrite) [Le corps de l’homme de glace, magnifiquement bien conservé est visible au musée Tyrol d’archéologie de Bolzano en Italie] Après Ötzi, ls plus anciens tatouages sont attribués à la civilisation égyptienne. Retrouvée à Thèbes, la femme d’Amunet était une prêtresse de Hathor (déesse de l’amour dans la mythologie égyptienne). Les experts estime qu’Amunet vécut

seem. Perhaps the strongest expression of the prevailing orthodoxy was given by Bolzano in 1817 when he attacked the use of geometry to prove results in analysis: But it is clear that it is an intolerable offense against correct method to derive truths of pure (or general) mathematics (i.e. arithmetic, algebra, analysis) from considerations which belong to a merely applied (or special) part, namely, geometry. (Bolzano, in Fauvel and Gray 18.B.1, p. 564) Geometry was an applied subject, since its

définition claire de la notion (sans le terme uniforme) en 1853. Weierstrass, de son côté, donnera par la suite les théorèmes classiques de continuité, dérivabilité, intégrabilité des séries de fonctions continues dans ses cours à partir de 1861. • Bolzano démontre le premier ce principe, implicite chez les auteurs du XVIIIe siècle, qu'une fonction continue qui prend des valeurs de signes différents dans un intervalle s'y annule, ouvrant la voie à la topologie par le théorème des valeurs intermédiaires

convergent toutes vers la même limite l , on peut conclure que (un ) converge vers l si tout un est un terme d'une des suites extraites étudiées. Par exemple, si (u2n ) et (u2n+1 ) convergent vers l , alors (un ) converge vers l . • Théorème de Bolzano-Weierstrass De toute suite de réels bornée, on peut extraire une sous-suite convergente. V Suites de Cauchy • Définition Une suite (u n ) est de Cauchy si, pour tout ε positif, il existe un entier naturel n 0 pour lequel, quels que soient