Bolzano

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de segments : In = [an ,bn ] tels que H1 Ils sont emboˆ es : ∀n ∈ N, In+1 ⊂ In ; ıt´ H2 Alors il existe un r´el l ∈ R tel que e Leur diam`tre tend vers 0 : (bn − an ) − − − 0. e − −→ n→+∞ n∈N In = {l} Th´or`me 9.18 : Th´or`me de Bolzano-Weierstrass e e e e De toute suite r´elle born´e, on peut extraire une suite convergente. e e Corollaire 9.19 : Soit un segment [a,b] et une suite (xn ) de points de ce segment. Alors il existe une suite extraite de la suite (xn ) qui converge vers

segments : In = [an ,bn ] tels que H1 Ils sont emboˆ es : ∀n ∈ N, In+1 ⊂ In ; ıt´ H2 Leur diam`tre tend vers 0 : (bn − an ) − − − 0. e − −→ n→+∞ Alors il existe un r´el l ∈ R tel que e n∈N In = {l} Th´or`me 9.18 : Th´or`me de Bolzano-Weierstrass e e e e De toute suite r´elle born´e, on peut extraire une suite convergente. e e Corollaire 9.19 : Soit un segment [a,b] et une suite (xn ) de points de ce segment. Alors il existe une suite extraite de la suite (xn ) qui converge

segments : In = [an ,bn ] tels que H1 Ils sont emboˆ es : ∀n ∈ N, In+1 ⊂ In ; ıt´ H2 Leur diam`tre tend vers 0 : (bn − an ) − − − 0. e − −→ n→+∞ Alors il existe un r´el l ∈ R tel que e n∈N In = {l} Th´or`me 9.18 : Th´or`me de Bolzano-Weierstrass e e e e De toute suite r´elle born´e, on peut extraire une suite convergente. e e Corollaire 9.19 : Soit un segment [a,b] et une suite (xn ) de points de ce segment. Alors il existe une suite extraite de la suite (xn ) qui converge

(u n ) est convergente vers l si : ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀n n0 un − l ε. Une suite qui n'est pas convergente est divergente. Beaucoup de théorèmes sur les suites numériques se généralisent : unicité de la limite, opérations algébriques, théorème de Bolzano-Weierstrass… Ne généralisez pas les notions qui utilisent la relation comme : limites infinies, suites monotones, théorème d'encadrement. 2.2 Normes équivalentes Soit N et N deux normes sur E. On dit qu'elles sont équivalentes si toute suite

convergence uniforme, 3. convergence en moyenne (c’est-`-dire limn→+∞ a b a |fn (x) − f (x)|dx = 0). On a : 2) ⇒ 1), 2) ⇒ 3) (th´or`me 5.3) mais, on peut montrer : 1) ⇒ 2), 1) ⇒ 3), 3) ⇒ 1), 3) ⇒ 2). e e 5.7 Exercices Exercice 5.1 (Bolzano-Weierstrass) Soit −∞ < a < b < ∞ et (xn )n∈N une suite de points de [a, b]. 1. Pour tout n ∈ N , on pose an = inf{xp , p ≥ n}. Montrer que la suite (an )n∈N est une suite croissante major´e. En d´duire qu’il existe x ∈ [a, b] t.q. an → x quand n →

des actes ayant force de loi ordinaire de l’État et des régions; — décide sur les conflits d’attribution entre les pouvoirs de l’État, entre l’État et les régions, entre les régions et entre l’État et les provinces à statut spécial de Trento et de Bolzano; — décide de la mise en accusation du Président de la République, pour le délit de haute trahison ou pour menace envers la Constitution (2); — se prononce sur l’admissibilité du référendum législatif. En matière de contrôle de constitutionnalité,

restreignent à ce que Husserl en dit dans les Prolégomènes (t. I), dont la fonction est critique, et notent le rapport de cette théorie avec la doctrine de la proposition de Bolzano ; en revanche, ils laissent de côté les interprétations phénoménologiques positives qui, quant à elles, sont radicalement différentes de celle de Bolzano. Le seul à avoir positivement reçu — bien qu’il se situât en dehors de la recherche phénoménologique — les analyses citées fut E. Lask, dont la Logik der Philosophie de 1911

suivante (CJCE, 16 septembre 1999, WWF, AGF. C-435/97, Rec. I-05613) commence également avec l’adoption, en 1995, d’une loi de province approuvant un plan de développement et d’aménagement prévoyant notamment l’extension de l’aéroport militaire de Bolzano à des fins commerciales. L’une des question préjudicielle posée à la Cour en 1997 portait sur le point de savoir si la transformation de l’aéroport devait être soumise à évaluation des incidences en raison de ses incidences notables sur l’environnement

+ n12 ). 1 1 1 1 + 3 +···+ 3 . 3 2 3 n converge (on pourra considérer la suite (vn )n 1 de terme général Remarque On note ζ(3) cette limite. On l’appelle aussi constante d’Apéry. Roger Apéry a prouvé en 1978 que ζ(3) ∉ Q. 4.5. Théorème de Bolzano-Weierstrass Définition 51 Soit (u n )n∈N une suite. Une suite extraite ou sous-suite de (u n )n∈N est une suite de la forme (u φ(n) )n∈N , où φ : N → N est une application strictement croissante. + + + + + + + + + + + + φ(0) φ(1) φ(2) φ(3)