0

élim. Ecarts d'acq. / titres détenus par Amort. écarts d'acq. / titres détenus par Ecarts d'acq. / titres détenus par 6 669 4 936 13 721 894 0 0 0 0 456 000 0 0 0 0 -10 000 408 156 0 0 0 0 13 794 965 0 -75 007 0 0 -3 000 0 0 0 0 -78 007 13 716 958 13 716 958 0 0 0 0 0 -1 733 0 0 0 -10 000 0 0 456 000 456 000 0 0 0 0 0 0 0 418 156 418 156 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 456 000 Variation de capital Dividendes versés sur le Résultat N-1 Taux Clôture 1 1 Distributions reçues Taux Moyen 1 1 Résultat de l'exercice

variables Généralités sur les fonctions de deux variables Exercice 1 Déterminer tous les couples (α, β) ∈ (R+ )2 pour lesquels il existe M ∈ R tel que : ∀x, y > 0, xα y β M (x + y) [ 01733 ] Exercice 6 Soit f : R → R une fonction de classe C 1 et F : R2 \ {(0, 0)} → R dénie par F (x, y) = Déterminer f (x2 + y 2 ) − f (0) . x2 + y 2 (x,y)→(0,0) lim F (x, y). Soit A une partie non vide de R2 et x un point de R2 . On note d(x, A) = inf x − a . Montrer que d : R2 → R est lipschitzienne

Page 1 Algèbre binaire I FICHE 1 Définitions Une variable binaire ou logique, couramment nommée bit, ne prend que deux états notés 1 et 0, ce qui s’exprime par : / / x = 0 si x = 1 et x = 1 si x = 0 Si on note la variable vraie et x (x barre) la variable complémentée, on a : quand x = 0, alors x = 1 et quand x = 1, alors x = 0 II Fonctions logiques • Fonctions logiques de base (Fig. 1.1) Elles suffisent à l’écriture et la réalisation de toute fonction logique d’un nombre

C´r´ales, ee x2 services de poulet, x3 services d’oeufs, x4 services de lait entier, x5 services de tarte aux pommes, x6 services de poissons et haricots. Afin de respecter les limites impos´es, le menu doit satisfaire : e 0 ≤ x1 ≤ 4 0 ≤ x2 ≤ 3 0 ≤ x3 ≤ 2 0 ≤ x4 ≤ 8 0 ≤ x5 ≤ 2 0 ≤ x6 ≤ 2. Le menu doit satisfaire aussi les contraintes sur les besoins en: Energie: 110x1 + 205x2 + 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 2000 Prot´ines: e 4x1 + 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 ≥ 55 Calcium: 2x1 + 12x2 + 54x3 +

|% total | |2 0 . . | | | | | | |2 0 . . | | | | | | |% Evolution/Year-1 | | | | | | |2 0 . .

/O/ 0 1/2 0 1/2 N  P = E  1/2 0 1/2 0   S  0 1/2 0 1/2  1/2 0 1/2 0 O 1.2 Le système bonus-malus en assurance auto A Hong Kong, il existe 6 classes de tarification, de 1 (fort bonus) à 6 fort malus • si un assuré n’a pas eu de sinistre, il passe de i à max{1, i − 1}, • si l’assuré a eu au moins un sinistre, il passe de i à 6. Si p est la probabilité de ne pas avoir  p 0  p 0   0 p P =  0 0   0 0 0 0 de sinistre, 0 0 0 p 0 0 0 0 0 0 p 0

contraintes et la cellule à optimiser pour démarrer le calcul. Il est aussi nécessaire de définir les paramètres suivants dans le solveur pour l’obtention d’une solution fiable : modèle supposé linéaire, résultat non négatif et tolérance de résolution fixée à 0%. Maintenant que la méthode globale est définie, nous allons la mettre en pratique avec l’exercice d’optimisation de la ligne de production. 3. Optimisation d’une ligne de production L’objectif de l’exercice est d’optimiser une ligne de production

1 4 0 4 et C = −1 −3 2 0 . 1. Calculer A + B , 2A − B , 3(A − 2B) + 2(3B + C), AB , BA, AC , CA, ABC , A(B + 2C), t A, t (3A − B), t (AB), t B t A, A2 , A3 , A4 , (AB)2 et (A + B)2 , (A + B)3 . 2. Résoudre les équations d'inconnues X ∈ M2 (R) : A − 3X = 2B , 2 t X + C = A, AX = XA et X 2 = B . Exercice 2 : Calculer lorsque c'est possible le produit AB et le produit BA pour les matrices A et B suivantes. 1. A =  −1 0 1 5 0 1 −3 2 et B =  1 −1  −2 0 −2 0  1 1 0 −1 1 −1 3

& & / 0 12 3 ! & ' ) & # $ & 4 5 4 ! #) # $ & 4& ' ' ! 0 1613 # $ ! 7 & + '( ) ./ !! ( ) , + ! , * , ) ( '( . 3 ! 8 ) # & 4 " 0 1693 : # 0 16;3 : # 0 1663 & $ ) ! & / " $ 7 $ # * .0 !! , ) ) + + ! * '( . ** ! * + 1 +, , * .2 ** )+ + '( , ) + * ) *$ $ &< = # ) # 1> ; ? ! &* &4 !$ 212 &@ # 1..# " &B A ) ) A . " 0 < = ) 3 $ 7 &' " # & # &4 # ) < = & " $ 5 ! $ + ) 5* * $ # 7E# " F # 3 ' )5 & D - 3 & 0 1623) ! ! F# 3 0 " < = $ ** 6

2000 I 1 Nous utilisons les in´galit´s bien connues e e ∀u ∈ IR+ 0 < e−u ≤ 1 , ∀t > 0 | sin t| ≤ inf{1, t} sin t n t (1) est continue D’apr`s les th´or`mes g´n´raux, la fonction (x, t) → e−xt e e e e e sur [0, +∞[×]0, +∞[, et d’apr`s les in´galit´s (1) : e e e ∀(x, t) ∈ [0, +∞[×]0, +∞[ e−xt sin t t n ≤ inf 1 ,1 tn (2) La fonction t → inf {t−n , 1} est int´grable sur ]0, +∞[ : elle est continue, vaut e 1 sur ]0, 1], et elle est int´grable au voisinage de +∞ par application de