TD : Matrices

Exercice 1 : Soient A =

1 3

2 4

,B=

1 4

0 4

et C =

−1 −3

2 0

.

1. Calculer A + B , 2A − B , 3(A − 2B) + 2(3B + C), AB , BA, AC , CA, ABC , A(B + 2C), t A, t (3A − B), t (AB), t B t A, A2 , A3 , A4 , (AB)2 et (A + B)2 , (A + B)3 . 2. Résoudre les équations d'inconnues X ∈ M2 (R) : A − 3X = 2B , 2 t X + C = A, AX = XA et X 2 = B .

Exercice 2 : Calculer lorsque c'est possible le produit AB et le produit BA pour les matrices A et B suivantes.
1. A =
 −1 0 1 5 0 1 −3 2 et B =  1 −1  −2 0 −2 0  1 1 0 −1 1 −1 3  et B = 2 −1 2 −3 0  

2. A = 4. A =

1 0 0

2 −1 2

3

4 2 −3

 −1  3   et B =   −4  0



3. A =  0

et B = t A

Exercice 3 : Soient A et B deux éléments de Mn (R). Développer et simplier les expressions suivantes :
S = (2A)(3B) − (A + 2B)2 + (A − B)(A + B) et T = (A + B)(2A2 − 2B) − 2A2 (A + B) + (B − A)2 .   a 0 0 0  0 b 0 0  n  Exercice 4 : Soit A =   0 0 c 0  ∈ M4 (R). Déterminer A pour tout n ∈ N. 0 0 0 d   2 2 2 Exercice 5 : Soit J =  2 2 2  . Montrer que pour tout n ∈ N∗ , J n = 6n−1 J . 2 2 2       2 −1 −1 1 1 1 −1 2 2 1 1 −1 2 −1  et C = 1 1 1 . Exercice 6 : Soient A =  2 −1 2 , B = 3 3 −1 −1 2 1 1 1 2 2 −1

1. Calculer P 2 , Q2 , P Q et QP . Déterminer deux réels a et b tels que A = aP + bQ. 2. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , An = an P + bn Q.
1 Exercice 7 : Soit A =  6 3   0 0 −5 6 . −3 4  0 1 − 2an −an  0 2an . an + 1

1 1. Montrer que pour tout n ∈ N, il existe un réel an tel que An =  2an an

2. Montrer que la suite (an )n∈N est une suite arithmético-géométrique. 3. En déduire an en fonction de n ∈ N puis donner l'expression de An en fonction de n ∈ N.
−2 Exercice 8 : Soit A =  6 −4  1 −2 1  1 −4 . 3

1. Calculer A2 , A3 et montrer que A3 = 6A − A2 . 2. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , il existe deux réels an et bn tels que An = an A2 + bn A. Donner a1 , b1 , a2 , b2 , a3 et b3 . 3. Montrer que la suite (an )n∈N∗ est