Variable

LOI BINOMIALE I) Introduction La probabilité qu'un tireur atteigne sa cible est p = 3 . 4 1. On suppose qu'il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus. (X = 0, 1 ou 2) a) Calculer la probabilité des événements [X = 0], [X = 1] et [X = 2]. (On pourra s'aider d'un arbre "pondéré" et on désignera par S les succès et E les échecs). 2 b) Calculer k =0 2. On suppose maintenant qu'il fait six tirs et on note Y le nombre de succès

indépendants et on évalue la probabilité de désistement de chacun d’eux à 0.1. On note n le nombre de réservations prises par la compagnie pour un vol donné et sn le nombre de passagers se présentant à l’embarquement pour ce vol. On appelle Sn la variable aléatoire modélisant les valeurs sn. On se propose de chercher la valeur maximale de n telle que : P(Sn 150) 0,99, de façon à réduire à peu de chose les frais de dédommagement. 1. On effectue 160 réservations. Quelle est la probabilité que

aléatoire et E l’ensemble des issues possibles. Définir une variable aléatoire c’est associer un nombre à chaque issue de l’expérience. La variable est dite « discrète » si elle prend le nombre fini de valeurs (x1 ; x2 ; … ; xi). L’ensemble des issues auquel on associe la même valeur xi de la valeur aléatoire X est noté (X = xi). ( On considère une variable aléatoire X. Définir une probabilité P de cette variable c’est associer xi de la variable aléatoire. Un nombre positif Pi tel que la comme des Pi

Probabilités - variable aléatoire ( à valeurs réelles) : Une variable aléatoire X à valeurs réelles est une fonction ℑ mesurable: X:Ω → R X −1 (B) ∈ ℑ (B= borrélien de R) - distribution d’une variable aléatoire : µ X (B) = P(X −1 (B)) UCL Devolder 5 1. Probabilités - fonction de répartition d’une variable aléatoire : Borrélien : B = (−∞, x ] µ X (B) = P(X −1 (B)) = FX ( x ) = P( X ≤ x ) - densité de probabilité d’une variable aléatoire : La densité f(x) d’une variable aléatoire

Applications linéaires. 1.4 Probabilités 1. Probabilités conditionnelles. 2. Formule des probabilités totales. 3. Formule des probabilités composées. 4. Lois usuelles (schéma, lois, espérance, variance). 5. Techniques de manipulation de deux variables. 1 Lycée Alfred Kastler Année scolaire 2011/2012 Prépa ECE1 2 Enoncés des exercices Exercice 1 n désigne un entier supérieur ou égal à 1. On considère la fonction fn dénie, pour tout x réel, par : fn (x) = x5 + nx − 1. 1. Étudier

MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE Définitions : Soit X une variable aléatoire réelle, de loi ou bien discrète ou bien continue, dont on veut estimer un paramètre θ. On note cette famille de lois paramétriques. Alors on définit une fonction f telle que : fθ(x) représente la densité de X (où θ apparaît) et Pθ(X = x) représente une probabilité discrète (où θ apparaît). On appelle vraisemblance de θ au vu des observations (x1,...,xi,...,xn) d'un n-échantillon indépendamment et identiquement distribué selon

deux variables Depuis 1975, la température moyenne sur le globe augmente dangereusement. Pour de nombreux scientifiques, ce phénomène est directement lié à l’augmentation des émissions de CO2 due à l’activité humaine. Ils prédisent pour les vingt ans à venir, un réchauffement moyen de 0,2 °C par décennie. Comment ont-ils pu faire cette prévision ? Ils faut des données depuis un certain nombre d’années sur : les émissions de CO2 e tla température moyenne sur Terre. Ici, on a donc 2 variables, et on

RACHID  OMAR AJDIR  AJERROUD SOUKAINA Généralités et définition On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite si sa fonction de densité est: Représentation graphique Caractéristiques et propriétés:  Notation N(μ;σ²)  Courbe symétrique autour de μ et a 2 points D’inflexion aux abscisses μ-σ et μ+σ  E(X) = μ  V(X) = σ² La loi normale centrée réduite  Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1) si sa fonction de densité est

fort sur un ressort plus il devient difficile de le comprimer, et même chose pour l’étirement, plus on étire un ressort plus il devient difficile de l’allonger. Variables : La force dépend de la nature du ressort. Variable dépendante : force de rappel Variable indépendante : nature du ressort (soit acier ou caoutchouc). Autres variables : force gravitationnelle, masse de l’objet Contexte théorique : Le rayon réfracté se rapproche de la normale lorsqu’il passe du milieu moins dense à celui plus

aléatoires indépendants . . . . . . . . . . . . Chapitre 3. Variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 Probabilités et statistique 3.1. Attributs des variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.1. Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.2. Variables aléatoires réelles absolument continues . . . . . . 3.1.2. Espérance