Triangle amoureux

Activité « Défaut d'orthogonalité » : Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan. 1) Soit A(3;4) et B(-1 ; 1). Le triangle OAB est-il rectangle en O ? 2) Soit M(x ; y) et N(x' ; y') deux points distincts de O. a) Donner une condition nécessaire et suffisante sur OM² + ON² - MN² pour que OMN soit rectangle en O. b) Exprimer OM² + ON² - MN² en fonction de x, y, x' et y'. c) En déduire une condition nécessaire et suffisante sur x, y, x' et y' pour que OMN soit rectangle en O. ⃗ et ON ⃗ Bilan : OM²

Triangles et quadrilatères particuliers Exercices supplémentaires 1 Vocabulaire 1. Compléter les phrases suivantes par les mots ou les lettres manquants en choisissant parmi les mots « côtés », « sommets », « diagonales », « angles » ou les lettres A, B, C, D, E, F ou G. a. Les points A, B et C sont les trois - - - du triangle ABC. D B E A F C G b. c. d. e. Les Les Les Les points - - -, - - -, - - - et - - - sont les quatre sommets du quadrilatère DEFG. segments [AB], [BC] et [AC] sont les

min. Application (page 252) EXERCICES 1 B 3π — 4 C D A’ π — 3 A O E 5π — 4 F –π B’ — 2 2 3π — M 5 A’ B 3π correspond à 108°. 5 2. À M1 on associe : 3π 8π A 5 +π= 5 . 1. O 2π . Donc on associe chaque fois le même point. 7 4 1. Les triangles OMA et ONA sont équilatéraux donc kNOA = lAOM = 60°. Il en résulte que kMOP = 60° et kAOP = 120°. π π Ainsi à M, on associe , à N on associe – et à P on associe 3 3 2π . 3 13 13 1 1 2. cos m = ; sin m = ; cos p = – ; sin p = ; 2 2 2 2 13 1 . cos

v . On se propose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B et C, deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b et c, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l’origine O, a pour orthocentre le point H d’affixe a + b + c. Partie B – Étude d’un cas particulier On pose a = 3 + i ; b = −1 + 3i ; c = − 5 − i 5. 1. Vérifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. 2. Placer les points A, B, C et le point H d’affixe a + b + c, puis

XERCICE 2: U N AIR DE DÉJÀ VU 5 1 . 4 − x2 1. Déterminez l’ensemble de définition de f f est la fonction définie par f (x) = 2. Calculer l’image par f de −1 et t 3. Calculer l’image par f de . 2 6. E XERCICE 3: U N PEU DE GÉOMÉTRIE 6 ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = 5cm et BC = 6cm. H est le pied de la hauteur issue de A. D est un point mobile du segment [AB]. On note x la longueur AD DEFG est un rectangle tel que (DE) est parallèle à (BC). A 1. A quel intervalle appartient x ? 2

Correction 1 ÷ est un angle 1. La face AEHD est un carré : l’angle DHE droit. Le triangle EHD est un triangle rectangle. trace leur point d’intersection J. Or, la droite (M N ) appartient au plan (M N P ) et la droite (AC) appartient au plan (ABC) : le point J appartient à la droite (∆). D 2. La droite (AC) appartient au plan (ABC) et la droite (HG) appartient au plan (EHG) : les deux droites ne peuvent pas être sécantes. M 3. Les deux droites (DH) et (BF ) sont parallèles, on en déduit que les

ABC est un triangle rectangle isocèle en un point que l’on précisera. Soit I le milieu de [AB]. Calculer les coordonnées de I. Montrer que la droite (CI) est perpendiculaire à la droite (AB). Montrer que CI = 4. Calculer l’aire du triangle ABC. On considère un point M appartenant au segment [CI], la parallèle à la droite (AB) passant par M coupe la droite (AC) en N. On pose CM = ‫ݔ‬. Montrer que MN = ‫ݔ‬. 9) Déterminer ‫ ݔ‬pour que l’aire du triangle CMN soit le quart de l’aire du triangle ABC. 

10 ◮1. Soit U P N un triangle rectangle en P tel que : U P = 5,4 cm et N P = 7,2 cm. Calculer la longueur N U . ◮2. Soit V U J un triangle rectangle en J tel que : U V = 19,3 cm et U J = 16,8 cm. Calculer la longueur V J. Exercice 11 ◮1. Soit Y ON un triangle rectangle en N tel que : ON = 6 cm et Y O = 8,7 cm. Calculer la longueur Y N . ◮2. Soit M RS un triangle rectangle en M tel que : SM = 7,2 cm et RM = 15,4 cm. Calculer la longueur RS. Exercice 12 Soit N U Q un triangle tel que : QN = 15,7

base du prisme est un triangle de base 5 cm et de hauteur 3 cm, et si la hauteur du prisme est de 8 cm alors son volume est de : ….. Exemple : Calculer le volume d’un cube d’arête 7 cm. B - Cylindre de révolution : Volume : V=B×h V = π × r2 × h Exemple : Calculer le volume d’un cylindre de hauteur 8 m et dont la base a pour rayon 7 cm. II - Les solides avec pointe : A - Pyramides : Les pyramides ont pour base des polygones, et leurs faces latérales sont des triangles. S arête latérale hauteur

médiatrice de [AB] et de [CD]. 2. Le trapèze ABCD étant rectangle de bases parallèles [AD] et [BC], les angles ADM et BCD sont droits. On pose DM=x et donc CM = 10 – x. On applique le théorème de Pythagore au triangle ADM rectangle en D : AD²+x²=AM² On applique le théorème de Pythagore au triangle BCM rectangle en C : BC²+(10-x)²=BM² Or AM= BM donc AM²= BM² soit 8²+x²= 6²+(10-x)² d’où 64+x²= 36+100-20x+x² On en déduit que 20x = 72 d’où x= 3.6. AM²= x²+AD²=x²+64 =3.6²+64=76.96 d’où : AM= 76.96 6 10