Théorème de Schwarz

particulière pour laquelle tout nombre x est solution. Les algorithmes programmés dans tout système de calcul formel reflètent uniquement les connaissances mathématiques des concepteurs du système. Un tel outil ne peut pas démontrer directement un nouveau théorème ; il permet simplement d’effectuer des calculs dont les méthodes sont bien connues mais qui sont trop longs pour être menés à bien « avec un papier et un crayon ». 1.6 Classes et classes normales Les sections suivantes présentent la notion

corde qui relie les e points ei et ei , ces deux points ´tant sur le cercle unit´. e e – La longueur de la corde ´tant inf´rieure ` la longueur de l’arc joignant e e a les deux points, on en d´duit : e – | ei − ei | |< t, Xn > − < t, X >|. Par Cauchy-Schwarz, – | ei − ei | |< t, Xn > − < t, X >| | t | × | Xn − X |. – Le deuxi`me terme est donc major´ par | t | η. e e ε – Pour tout ε > 0 (t ´tant donn´), On peut choisir η tel que | t | η < 2 . e e – η ´tant maintenant donn´, il existe n tel que ∀m n, P

= var(X) 3. ∀a, b, c et d ∈ : cov ( aX + b, cY + d ) = ac ⋅ cov ( X , Y ) ⇒ var ( aX + bY + c ) = a 2 var ( X ) + b 2 var ( Y ) + 2ab ⋅ cov ( X , Y ) 4. cov ( X , Y ) ≤ var ( X ) ⋅ var ( Y ) , cette inégalité est une conséquence de l’inégalité de Schwarz. On appelle coefficient de corrélation linéaire entre X et Y le rapport : ----------------------ρ = cov ( X , Y ) σ X ⋅ σY Des propriétés de la covariance, on déduit que le coefficient de corrélation linéaire est invariant par changement d’origine

P(G ∪ H) = P(G) + P( G ∩ H) De même H = (G ∩ H) ∪ ( G ∩ H) avec ( G ∩ H) ∩ ( G ∩ H) = ∅ donc P(H) = P(G ∩ H) + P( G ∩ H) En combinant les deux résultats, on obtient : P(G ∪ H) = P(G) + P(H) – P(G ∩ H) Ce dernier résultat est connu sous le nom de théorème des probabilités totales. B. Probabilités conditionnelles Nous avons évoqué en introduction de ce chapitre le lien particulier entre l’information disponible, le contrôle des facteurs déterminants d’un phénomène et l’importance de sa partie aléatoire

lesquelles se trouve le théorème d’impossibilité spatiale identifié par Starrett. d) Le théorème d’impossibilité spatiale Deux hypothèses son nécessaires pour dire qu’un espace est homogène : • les ménages ont la même fonction d’utilité, quel que soit le lieu de résidence, • la production de la firme est indépendante du lieu de production choisi. Sur la base de ces hypothèses, les firmes et les ménages ne détiennent aucune préférence pour une localité. Ainsi, selon Starrett47, le théorème de l’impossibilité

gramme d´mocratique: e Tous les d´partements de math´matiques, ou du moins d’informatique proposent une ine e troduction aux AlGore-ithmes, d´plore-t-il. Mais pas un seul enseigne les GeorgeBushe ithmes... Math´maticien du jour e Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) Math´maticien allemand. Ses travaux sont marqu´s par une forte interaction entre l’analyse et la g´om´trie. e e e e Il a travaill´ sur des sujets allant de la th´orie des fonctions ` la g´om´trie diff´rentielle en passant par le e e a e

P-ind´pendants ? e 18 (E. Kosmanek). — Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ et A, B deux e ´v`nements de A. Alors |P(A ∩ B) − P(A)P(B)| ≤ 1 . e e 4 On peut donner plusieurs d´monstrations de cette in´galit´ qui d´coulent e e e e en fait de l’in´galit´ de Schwarz. Une d´monstration directe consiste ` e e e a c c c c consid´rer les atomes A ∩ B, A ∩ B , A ∩ B, A ∩ B . En notant α, β, γ, e δ, leurs probabilit´s respectives, on a la relation α + β + γ + δ = 1. Posant e e(A, B) = P(A∩B)−P(A)P(B), on en d´duit

et le deuxi`me vecteur de la base vaut +π/2. La base canonique ( i , j ) est une base orthonormale e →→ − − →→ − − directe. On dit qu’un rep`re R = (Ω, I , J ) est orthonorm´ direct si la base ( I , J ) est une base orthonormale e e directe. ´ ` Theoreme 5.1 : Formules de changement de rep`re e →→ − − →→ − − On consid`re deux rep`res orthonorm´s directs R = (O, i , j ) et R = (Ω, I , J ). On note θ l’angle e e e → − → − entre les vecteurs i et I . Si M est un point du plan, M on a les formules de

deuxi`me vecteur de la base vaut +π/2. La base canonique ( i , j ) est une base orthonormale e →→ − − →→ − − directe. On dit qu’un rep`re R = (Ω, I , J ) est orthonorm´ direct si la base ( I , J ) est une base orthonormale e e directe. ´ ` Theoreme 5.1 : Formules de changement de rep`re e →→ − − →→ − − On consid`re deux rep`res orthonorm´s directs R = (O, i , j ) et R = (Ω, I , J ). On note θ l’angle e e e → − → − entre les vecteurs i et I . Si M est un point du plan, α X x

deuxi`me vecteur de la base vaut +π/2. La base canonique ( i , j ) est une base orthonormale e →→ − − →→ − − directe. On dit qu’un rep`re R = (Ω, I , J ) est orthonorm´ direct si la base ( I , J ) est une base orthonormale e e directe. ´ ` Theoreme 5.1 : Formules de changement de rep`re e →→ − − →→ − − On consid`re deux rep`res orthonorm´s directs R = (O, i , j ) et R = (Ω, I , J ). On note θ l’angle e e e → − → − entre les vecteurs i et I . Si M est un point du plan, α X x