Tangente

le cosinus et la tangente. La cotangente, la sécante et la cosécante ne sont que les fonctions inverses des 3 fonctions de base :      - la cotangente est l'inverse de la tangente     - la cosécante est l'inverse du sinus     - la sécante est l'inverse du cosinus et ce, aussi bien en version circulaire qu'hyperbolique comme indiqué dans le tableau suivant : Fonctions circulaires Fonctions hyperbolques Sachant que le rapport du sinus sur le cosinus est égal à la tangente, on en déduit

IRIS Lycée Langevin-Wallon, académie de Créteil TABLE DES MATIÈRES iii Table des matières 1 Nombres complexes 1.1 L’ensemble C des nombres complexes . . . . . . . 1.1.1 Définition et règles de calcul dans C . . . . 1.1.2 La fonction arc tangente . . . . . . . . . . 1.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Équations de type z 2 = α . . . . . . . . . 1.2.2 Équations de type az 2 + bz + c = 0, a = 0 2 Calcul matriciel 2.1 Matrice à coefficients dans K . . . . 2.2 Somme de

signe racine carrée plus petit entier FLOOR plus grand entier ROUND arrondi TRUNC tronqué EXP LN LOG COS COSH SIN SINH TAN TANH PI exponentielle logarithme népérien logarithme décimal cosinus cosinus hyperbolique sinus sinus hyperbolique tangente tangente hyperbolique constante Pi POWER puissance 4.9. Autres opérateurs de traitement des chaînes de caractères (non  normalisés)  concaténation : équivalent du || - Nota : utiliser de préférence || plus standard. Le + entre colonne alphanumérique

équivalence Strictement plus grand Plus grand ou égal Strictement plus petit Plus petit ou égal Egal Différent Addition Soustraction Multiplication Division Puissance Concaténation ( chaine de charactrére) sinus ; cosinus ; tangente arccosinus ; arcsinus ; arctangente sinus ; cosinus ; tangente hyperbolique racine carée Exponentielle Logarithme néperien Logarithme décimal Valeur absolue Reste de la division eniére Module Maximum Minimum Partie imaginaire Conjugué PROGRAM END PROGRAM IMPLICIT NONE Déclaration

Chapitre 6 FONCTIONS HYPERBOLIQUES 6.1 D´ efinitions On d´efinit trois fonctions sur R par ex + e−x (cosinus hyperbolique), 2 ex − e−x sh x = (sinus hyperbolique) et 2 sh x (tangente hyperbolique). th x = ch x ch x = Remarques : • On utilise parfois coth x = 1 · th x • Le terme hyperbolique se justifie g´eom´etriquement. En effet, en posant : quand t d´ecrit R, M de coordonn´ees (x, y) d´ecrit une branche d’hyperbole. 6.2 Trigonom´ etrie hyperbolique Dans toute la suite, a et b d´esigneront

positive de l'hyperbole x2 – y2 = 1. y ch sh o x b) th(x) : th(x) = On a : th est impaire. 1 th'(x) = 2 = 1 – th2(x) > 0 donc th est strictement croissante. ch (x) lim th(x) = 1 et lim th(x) = –1 x→+∞ x→–∞ -4sh(x) ex – e–x e2x – 1 = = (tangente hyperbolique) ch(x) ex + e–x e2x + 1 th(x) ∼ x au voisinage de 0 (car th'(0) = 1). y th o x 3– Réciproques des fonctions hyperboliques a) argsh(x) : sh est continue strictement monotone de sur . Cette fonction admet donc une réciproque

suivantes : __________________________________________________________ Fonction Résultat ---------------------------------------------------abs(x) valeur absolue de x, |x| acos(x) arc-cosinus de x asin(x) arc-sinus de x atan(x) arc-tangente de x cos(x) cosinus de x, x est en radians. cosh(x) cosinus hyperbolique de x, x est en radians erf(x) fonction erreur de x exp(x) fonction exponentielle de x, base e inverf(x) inverse de la fonction erreur de x invnorm(x) inverse de

1. 19.- Puisque, pour tout réel x, f(x) ∈] − 1, 1[, g est bien définie sur R. Soit x ∈ R. Puisque, tanh est solution (d’après 12.-), tanh(g(2x)) = f(2x) = 2tanh(g(x)) 2f(x) = = tanh(2g(x)). 2 1 + (f(x)) 1 + (tanh(g(x)))2 En reprenant l’argument tangente hyperbolique des deux membres, on a montré que : ∀x ∈ R, g(2x) = 2g(x). 20.- f est dérivable en 0 par hypothèse et Artanh est dérivable sur R (d’après 4.-) et donc en f(0). On en déduit que g = Artanh ◦ f est dérivable en 0. g est dérivable en 0

à mes collègues de Spé d'avoir encore et encore à vous le dire aussi). On la met sous forme de Cauchy-Lipschitz. On doit trouver une primitive à l'applica- t −→ Arctan(t)/(1 − t)3 . Pour ce faire, on intègre par parties en dérivant l'arc2 3 2 tangente en 1/(1 + t ) et en remontant le 8/(1 − t) en 4/(1 − t) . On en est donc à t 2.Arctan(t) dt At = + 2. . On va décomposer en éléments simples en 2 2 ).(1 − t)2 (1 − t) 0 (1 + t tion séparant 1 a b c.t + d = + + . (1 + t2 ).(1 − t)2 (1 − t) (1

= ∫ dt est 2 0 1+ t2 1 1+ t convergente. + ∞ sin( t ) Quelle est la nature de l'intégrale ∫ dt ? 0 1+ t2 2°) Montrer que la fonction tan définit une bijection de ]−π /2, π/2 [ sur R. La réciproque de cette fonction est la fonction Arc tangente, notée Arctan. Etudier cette fonction : ensembles de départ et d'arrivée, continuité, sens de variations, limites. Tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormé. Déterminer Arctan(0), Arctan(1). Montrer que la fonction Arctan est