Suite et série de fonctions

Une musique pourra donc être dite atonale lorsqu’elle ne contiendra ni ton, ni mode, ni aucune note ayant un rôle privilégié par rapport aux autres notes. Dans la musique occidentale, les gammes des divers tons ou modes sont constituées par une suite de sept sons (par exemple: do, ré, mi, fa, sol, la, si, pour la gamme appartenant au ton de do majeur). Mais l’évolution de cette musique s’est faite dans le sens d’un enrichissement progressif dont le résultat est la coexistence successive de plusieurs

Fiche technique Multivan Multivan Les équipements de série du Multivan Multivan Équipements extérieurs Contour de calandre chromé Haut de pare-brise teinté gris Jantes en acier 6,5 J X 16 avec enjoliveurs intégraux et pneus 215/65 R16 Jantes en alliage MYATO 6,5J X 16 et pneus 215/65 R16 Jantes en alliage SOLACE 7J X 17 et pneus 235/55 R17 Pare-chocs et rétroviseurs peints dans la couleur de la carrosserie Porte coulissante droite avec sécurité enfant Porte coulissante gauche avec sécurité

Préliminaires 1) Soit f ∈ L . Soit ξ ∈ R. La fonction x → f(x)e−2iπxξ est continue par morceaux sur R. De plus, pour tout x ∈ R, |f(x)e−2iπxξ | = |f(x)|. Puisque f est intégrable sur R, il en est de même de la fonction x → f(x)e−2iπxξ . En particulier, f(ξ) existe dans R. On a montré que ∀f ∈ L , f est définie sur R. R2 → R . (ξ, x) → f(x)e−2iπxξ • Pour chaque ξ ∈ R, la fonction x → Φ(ξ, x) est continue par morceaux sur R. • Pour chaque x ∈ R, la fonction ξ → Φ(ξ, x) est continue sur R. • Pour

MPSI/PCSI/ESC Intégration SUP/ESC 1. Méthodes d’intégration 1-1 : Intégrale immédiate 1-2 : Somme ou différence de fonctions 1-3 : Composée de fonction 1-4 : Décomposition en fractions rationnelles 1-5 : Par substitution (changement de variable) 1-6 : Réductions à des formes particulières 1-7 : Intégration par parties 1-8 : Décomposition en série 2. Intégration numérique 2-1 : Méthode des rectangles 2-2 : Méthode des trapèzes 2-3 : Méthode de Simpson 3. Diverses questions 3-1 : Introduction à

exemple les "tranches" d'imposition). Les variables qualitatives ordinales comme le niveau d'appréciation d'un produit ("pas apprécié", "peu apprécié", "apprécié", "très apprécié") peuvent être codées selon une note exprimant le gradient et, par suite, traitées statistiquement comme des variables quantitatives. Tableau 1 Outils de statistique descriptive univariée selon le type de variable. EXEMPLE TYPE DE VARIABLE OUTILS RESUME TABLEAUX GRAPHIQUES Crises alimentaires Qualitative

Ensembles, applications Notions de logique Signes S , P Dénombrement — Formule du binôme Équations, inéquations Polynômes Manipulation des inégalités 1 1 5 9 12 18 22 25 Analyse 29 1 Étude de fonctions 1. Recherche de limites 2. Continuité 3. Calcul différentiel 4. Fonctions usuelles 5. Fonctions de deux variables 31 32 42 47 53 56 2 Suites et séries numériques 1. Généralités 2. Suites numériques calculables 3. Suites un+1 = f (un ) 4. Séries numériques 5. Suites définies implicitement 61

des matières 1. 2. INTRODUCTION .................................................................................... 1 ANALYSE LINEAIRE................................................................................ 2 2.1. 2.2. ANALYSE DE LA SERIE ................................................................................ 2 LES MODELES ARMAX : ESTIMATIONS ET PREVISIONS .................................. 7 3. LES RESEAUX DE NEURONES ................................................

indépendants ? 6. Ajuster un modèle ARCH puis un modèles GARCH sur la série des rendements du SP500. Selectionner l’ordre avecles critères AIC et/ou BIC. On peut utiliser la fonction garch du package tseries. 1Partie 2 - Modèle TAR On considère la série des lynx au Canada (data(lynx)) notée (Lyt)t. Les données correspondent au nombre de Lynx capturés annuellement. On cherche à modéliser les 109 premières valeurs de cette série par un processus stationnaire. Les 5 dernières valeurs sont conservées

EPREUVE – 3 heures Les trois parties sont indépendantes mais obligatoires. Il est cependant souhaitable de les traiter dans l'ordre. ETUDE D'UN FOUR A INDUCTION ALIMENTE PAR UN ONDULEUR AUTONOME Un four à induction est équivalent à un circuit série composé d'une inductance pure L = 60 µH et d'une résistance R = 10 m. La fréquence de fonctionnement de la tension d'alimentation du four est fixée à f = 600 Hz. PREMIERE PARTIE : ALIMENTATION PAR SOURCE DE TENSION ALTERNATIVE SINUSOIDALE 1

[correction] +∞ t − [t] dt t(t + n) où [t] représente la partie entière de t. a) Justifier la bonne définition de la suite (un )n b) Montrer que pour tout A > 0 A sin t dt t d) Etudier la limite puis un équivalent de A Jn ∼ √ 3 n Exercice 2 [ 00157 ] [correction] Pour n ∈ N , on pose sin(2nt) cos t dt sin t In = 0 dx pour n ∈ N, n 1 + xn 2 a) Déterminer une suite de fonctions (fn ) telle que 1. t − [t] dt − t 1 In = A+n A fn (t) dt 0 t − [t] dt t En déduire une nouvelle expression intégrale