Théorème de Dirichlet

ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. A propos de l’hypothèse « de classe C 1 par morceaux » du théorème de convergence normale d’une série de Fourier… Pour toute fonction f :  → , continue par morceaux et de période 2π , on associe ses coefficients 1 2π de Fourier exponentiels définis, pour n ∈ Z, par c n ( f ) = f (t ) e −i n t dt et ses coefficients

2 3 4 PGCD Zn et Z∗n Algorithme d’Euclide Complexité de l’algorithme d’Euclide ϕ(n) Fermat et Euler Théorème chinois Déchiffrement RSA Eléments primitifs Théorème de Lucas Fonctions génératrices Jean Dieudonné dans l’Encyclopeadia Universalis Exemples La fonction ζ Produit Eulerien Prolongement analytique de ζ Répartition des nombres premiers Le théorème de la progression arithmétique La fonction ζ PGCD ϕ(n) Fonctions génératrices La fonction ζ Quelques

. . . . . . . 6.3 Applications à l’équation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Un première formulation variationnelle du problème de Dirichlet homogène 55 55 57 58 60 7 Espaces de Sobolev 7.1 Définitions et propriétés . . . . . 7.2 L’espace H01 (Ω) . . . . . . . . . . 7.3 Traces et formules de Green . . . 7.4 Théorème de compacité de Rellich 7.5 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 66 68 70 72 . . . . 75 75 77 81 84 . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝑒𝑖𝑛 2𝜋 𝑇 𝑥 ∞ 𝑛=−∞ Théorème de Dirichlet (1829) Soit 𝑓 définie sur ℝ, 𝑪𝟏 par morceaux sur − 𝑇 2 ; 𝑇 2 et 𝑇-périodique. 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑟é𝑒𝑙 𝑥 ∶ 𝑆𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥− + 𝑓 𝑥+ 2 Théorème de Parseval Soit 𝑓 définie sur ℝ, continue par morceaux sur

intégration, convergence. A l'époque de Fourier, aucune de ces notions n'est clairement précisée. Il faudra plus d'un siècle pour éclaircir la plupart des questions relatives aux séries trigonométriques, avec la notion de fonction développée par Dirichlet (1829), et celle d'intégrale par Riemann (1854) puis par Lebesgue (1902). Signalons enfin que c'est en réfléchissant sur un problème d'unicité des séries trigonométriques que Cantor développa sa théorie des ensembles . Les formules de Fourier entrent

cos(nωx) + bn sin(nωx)| ≤ |an | + |bn |. Proposition 3.1.2 Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont décroissantes et tendent vers 0, alors 2kπ la série trigonométrique (1) est convergente pour x où k ∈ Z. ω Preuve : C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n. p=n p=n S= p=m sin px C= p=m cos px. 2kπ où k ∈ Z : Commençons par calculer les sommes suivantes ; On a pour t

simple couche Théorème Pour toute fonction τ régulière définie sur Γ, le potentiel de simple couche p = Sτ a les propriétés suivantes : dimanche 11 décembre 11 5 Représentation intégrale des ondes en dimension 3. Le potentiel de double couche Théorème Pour toute fonction φ régulière définie sur Γ, le potentiel de double couche p = Dφ a les propriétés suivantes : dimanche 11 décembre 11 6 Théorème de représentation intégrale dimanche 11 décembre 11 7 Théorème de représentation

Terminale S Spe 2010-2011 Nombres Premiers Théorème de Dirichlet (1805-1859) Nous avons démontré qu'il existe une innité de nombres premiers (preuve due à Euclide). Le théorème de Dirichlet est le suivant : Si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, avec a > 0, alors il existe une innité de nombres premiers de la forme an + b (n entier naturel). La preuve en est très dicile, les deux cas particuliers traités ci-dessous sont toutefois accessibles en TS. 1. Montrer que tout nombre

considérons des conditions de Dirichlet, alors que nous avons les conditions de Neumann sur la partie restante : [pic]\[pic] Soient[pic], [pic]et[pic]. Cherchons [pic] avec : (P) D’après le théorème de Lax-Milgram, il existe toujours une solution faible de (1)-(3) ce qui donne la régularité intérieure (i.e.,[pic]), et on a des frontières lisses et aussi un changement de conditions à la frontière. Les conditions non homogènes de Dirichlet (2) sont associées à la décomposition :

cos(nωx) + bn sin(nωx)| ≤ |an | + |bn |. Proposition 3.1.2 Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont décroissantes et tendent vers 0, alors 2kπ la série trigonométrique (1) est convergente pour x où k ∈ Z. ω Preuve : C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n; n ≤ m. p=m p=m cos px C= On a pour t sin px. S= p=n p=n 2kπ où k ∈ Z : p=m C + iS p=m cos pt + i = p=n p=m sin pt