Signe égal

 −¥;− 1 2 Pour a 6= 0, on applique la règle suivante : Signe de ax+b x -µ −b/a signe de (−a) 0 signe de a +µ Cette règle peut se résumer par la phrase suivante : «signe de a après le 0». Exemple : Etude du signe de −2x+3 • On cherche la valeur qui annule −2x+3 : −2x+3 = 0,−2x = −3,x = −3 −2 = 3 2 . • On complète le tableau en utilisant la règle : «signe de a = −2 après le 0» x -µ 0 +µ Signe de −2x+3 3/2 + − signe de −2 4 Inéquations sans inconnue au dénominateur nécessitant

strictement monotone sur a , b . Alors l’équation f  x   0 possède une unique solution dans l’intervalle a , b . Théorème Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si la fonction f ne s’annule en aucun réel de I alors elle garde un signe constant sur I. Théorème L’image d’un intervalle fermé borné  a , b  par une fonction continue est un intervalle fermé borné  m , M  . Le réel m est le minimum de f sur  a , b . Le réel M est le maximum de f sur  a , b . Page 6  Continuité

2nde ISI Outils de calcul chapitre 3 2009-2010 RÉSOLUTION D’INÉQUATIONS Table des matières I Inéquations du premier degré 1 II Tableaux de signes II.1 Signe de ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Inéquation produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Inéquation quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Équations 1. Qu'est-ce que résoudre une équation ? Résoudre l'équation 8x  2 = 5x − 4, c'est se poser la question : « pour quelles valeurs de x l'égalité 8x  2 = 5x − 4 est-elle vraie ? ». • Est-ce que 3 est solution de cette équation ? Pour x = 3, le membre de gauche vaut : 8x  2 = 8 × 3  2 = 26 le membre de droite vaut : 5x − 4 = 5 × 3 − 4 = 9 Il n'y a pas égalité donc 3 n'est pas une solution de l'équation. • Est-ce que − 2 est solution de cette équation ? Pour x = 2, le membre de

= b d b×d 6) Inverse. Division a b L'inverse de la fraction est la fraction . ( a ≠0;b≠0) b a a a c a d ÷ = b = × b d c b c d II) Rappels sur les racines carrées 1) Définition Soit a un nombre positif. a est le nombre positif dont le carré est égal à a. Remarques : a n'a pas de sens si a est négatif. ( − 2 n'existe pas )  a est positif   si a est positif alors :  a 2 = a  propriété du produit en croix ( ) a−c a c − = b b b k ×a a = b b 2) Règles de calculs a et b sont 2 nombres

I. Nombres relatifs a. Addition et soustraction : Si les deux nombres sont de même signe, on écrit le signe des deux nombres puis on écrit leur somme. Exemple : Positif et positif : 9 + 5 = 14 Négatif et négatif : -9 – 5 = -14 Si les deux nombres sont de signe différent, On écrit le signe du nombre « le plus lourd » puis la différence du plus grand et du plus petit. Exemple : Positif et positif : 9 – 5 = 4 Négatif et négatif : -9 + 5 = -4 b. Multiplication et division :

● Pour   et -7 sont ils solutions de l’inéquation : 10 5  6 1  ?  : a) On calcule séparément les deux membres de l’inégalité : 10 (-1) + 5 = - 10 + 5 = -5 6 (-1) + 1 = -6 + 1 = -5 b) On compare : -5 est –il inférieur ou égal à -5 ? Comme 5 L’inégalité est vérifiée : 5 c) On conclut: -1 est solution de l’inéquation : ● Pour   =2: 10 2 + 5 = 20 + 5 = 25 Comme 25 2 + 1 = 12 + 1 = 13     ? =5: 10 (-5) + 5 = - 50 + 5 = -45 45 6 13

Terminale ST2S FICHE n°4 Etudier le signe d’une fonction Cette fiche propose trois exercices type pour étudier le signe d’une fonction suivant les valeurs de x. Remarque : Savoir étudier le signe d’une fonction est une des compétences indispensables pour pouvoir étudier les variations d’une fonction d’après le signe de sa dérivée : voir fiche « Sens de variation d’une fonction ». I. Lecture graphique du signe d’une fonction Exemple On considère une fonction f définie sur [−4 ; +∞[ dont on donne

droite. ➤ Le réel b est l’ordonnée à l’origine. Une fonction affine est dérivable sur R de dérivée f ′ (x) = a. D’où les tableaux de variation suivants : a>0 x signe de f ′ (x) a<0 − ab −∞ +∞ + signe de f ′ (x) variations de f signe de f +∞ −∞ x variations − ab −∞ +∞ − +∞ de f − http://nathalie.daval.free.fr 0 + signe de f − 0 + −∞ -2- BTS DOMOTIQUE 2008-2010 Fonctions Exemple 2 Le graphique ci-contre représente les droites d’équation : d1 : y = x + 1 d4 d2 d2 : y =

x3 1 x  x−3 x2 x2  x 3 x29 x−157 x−5 1 x21 5 x−2 3 x4 3 x2−2 x4 7 x−5 2 x−72 Exercice 5 : étude d'une fonction Soit la fonction f définie sur l'intervalle ℝ\{1,25} par f  x = x2−1,5 4 x−5 . 1. Dériver f et étudier le signe de la dérivée. 2. En déduire le tableau de variations de f . 3. Déduire du tableau de variations effectué, le nombre de solutions de l'équation f  x =0 . Exercice 6 : lecture graphique On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle