Inéquations : Résumé de cours et méthodes
1 Principe général
Résoudre une inéquation, c’est déterminer l’ensemble S de tous les réels x vérifiant l’inégalité donnée. L’ensemble des solutions
S se présente en général sous la forme d’un intervalle ou d’une union d’intervalles.
Pour déterminer si les bornes de S sont ouvertes ou fermées on applique la régle suivante :
Les bornes sont ouvertes si l’inégalité formant l’inéquation est stricte, si la borne correspond à un infini ou à une double barre.
Dans tous les autres cas, les bornes sont fermées.
2 Rappel sur les inégalités
Si on multiplie (ou on divise) une inégalité par un nombre strictement négatif, on change le sens de cette inégalité.
Exemple : Résolution de 3−2x > 4
3−2x > 4,−2x > 4−3,−2x > 1,x < −
1
2
. Donc, S =

−¥;−
1
2
Pour a 6= 0, on applique la règle suivante :
Signe de ax+b x -µ −b/a signe de (−a) 0 signe de a
+µ
Cette règle peut se résumer par la phrase suivante : «signe de a après le 0».
Exemple : Etude du signe de −2x+3
• On cherche la valeur qui annule −2x+3 : −2x+3 = 0,−2x = −3,x = −3
−2
=
3
2
.
• On complète le tableau en utilisant la règle : «signe de a = −2 après le 0» x -µ
0
+µ
Signe de −2x+3
3/2
+ − signe de −2
4 Inéquations sans inconnue au dénominateur nécessitant un tableau de signes Méthode générale :
• Se ramener à 0 en transposant tout dans le premier membre
• Factoriser le premier membre
• Construire un tableau de signes avec une ligne pour chaque facteur. En déduire, à l’aide de la règle des signes, le signe du premier membre dans le dernière ligne.
• Ecrire l’ensemble des solutions S sous la forme d’un intervalle ou d’une union d’intervalles.
Exemple : Résolution de l’inéquation x2 > (2x−1)2
• on se raméne à 0 : x2−(2x−1)2 > 0
• on factorise (on reconnaît la forme a2−b2) : [x−(2x−1)]×[x+(2x−1)] > 0,(−x+1)(3x−1) > 0
• on construit et on complète le tableau de signes :
Seconde - Inéquations c P.Brachet - www.xm1math.net 1 x -µ +µ
+