Scalaire

orthonormé ( 1, 3 0 0 MPa (a inconnu) 0 0 2, 3), 1- Déterminer les contraintes principales en fonction de a. Au même point par rapport au repère principal la matrice de contraintes devient : 0 0 0 0 0 0 0 s’écrit : MPa 2- en utilisant les scalaires invariants déduire la valeur de a (I2=-8). 3- déduire et . 4- calculer le vecteur contrainte pour la suface de normale ( , 0, ) dans la base ( 1, √ √ 2, 3). Questions de cours : 1- Dans la formulation de la mécanique des milieux continus la vitesse

résultats, mais les deux suivants donnent des résultats contraires. En outre on peut nier les deux termes et la gradation est possible. Nous avons affaire au phénomène qu’on appelle l’antonymie scalaire .à la différence de la complémentarité, qui suppose un choix simple et binaire entre deux termes, l’antonymie scalaire implique une échelle qui tourne autour d’un point de référence .Habituellement, l’un des termes implique une valeur positive, l’autre une valeur négative. C’est la situation qui détermine

2006 W. Bertram 2 1. Continuité dans les espaces métriques Chapitre 1 Continuité dans les espaces métriques L’espace euclidien est l’espace vectoriel Rn , muni de structures que l’on appelle métriques, comme la distance ou le produit scalaire. Si l’on retient seulement la notion de distance et on oublie tout le reste, on arrive à la définition d’un espace métrique : c’est un ensemble muni d’une application qui à un couple de points (x, y) associe leur distance d(x, y). Dans cette situation

forme g´om´trique . . . . . . . . . . . . . . e e e e Suppl´mentaires topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 58 61 64 67 67 67 69 71 74 75 77 79 81 85 85 88 91 91 94 96 98 100 102 102 104 7 Espaces de Hilbert 7.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Le cas r´el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 7.1.2 Le cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Orthogonalit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 7.3 Espaces de Hilbert .

correspondantes. 1.4 Donner l’expression de l’énergie cinétique d’un solide S en mouvement par rapport un référentiel R en fonction de son torseur cinétique et de son torseur cinématique, puis détailler cette relation sous la forme de la somme de produits scalaires (faisant intervenir des vecteurs vitesses de points à préciser, un vecteur taux de rotation ainsi qu’un moment cinétique en un point à préciser). Nom : Prénom : TD n. - 3 / 8 - Exercice 2 : Dynamique d’un ventilateur (16 points) On s’intéresse

lit´. Les ´quations d’´quilibre sont donc ici simplement utilis´es pour simplie e e e fier les ´quations de compatibilit´ exprim´es en contraintes. Ces ´quations e e e e s’´crivent tout d’abord globalement sous la forme suivante, en notant Σ le e scalaire repr´sentant la trace du tenseur des contraintes : e −→ − − → − → ∆(σ) + grad(grad(Σ)) − grad(div(σ)) − grad(div(σ))t −→ − λ − 3λ+2µ (∆(Σ)I − grad(grad(Σ))) = 0 (11) On remarque que l’expression ` annuler dans l’´quation pr´c´dente est un a

(ai,j ) ∈ Mn (C). (a) Pour tout couple (i, j) d’´ l´ ments de {1, . . . , n}, exprimer les matrices AEi,j et Ei,j A dans ee la base canonique de Mn (C). (b) On suppose que, pour toute matrice M ∈ Mn (C), AM = M A ; montrer que A est une ` matrice scalaire, c’est a dire de la forme λIn avec λ ∈ C. 2. Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). (a) Pour tout couple (i, j) d’´ l´ ments de {1, . . . , n}, exprimer la trace de la matrice AEi,j . ee (b) On suppose que, pour toute matrice M ∈ Mn (C), Tr (AM ) = 0 ; montrer

définition le produit scalaire de ces deux vecteurs1 (voir définition mathématique ci-dessous). Son unité d'expression dans le système international d'unités est le Weber2 (unité homogène à des volt-seconde). ------------------------------------------------- Définition mathématique  Visualisation d'une surface circonscrite par une bobine à trois spires. Par définition, le flux du champ magnétique  à travers un élément infinitésimal de surface orienté  est le produit scalaire de ces deux vecteurs :

} sur lesquelles on a défini une opération interne de somme – z = u + v avec z ∈ V – et une opération de produit par un nombre scalaire – z = au avec a ∈ R et z ∈ V . Le produit est distributif par rapport à la somme : a(u + v) = au + av. Exemple : Vecteurs dans l’espace cartesien R2 La somme est définie par la règle du parallélogramme et le produit par un scalaire est donné par le changement de longueur du vecteur. Un espace vectoriel V associé aux nombres complexes C est défini de la même

pour cette raison, il arrive que l'on choisisse une convention différente, à savoir Plus généralement, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire X à valeurs dans est la fonction à valeurs complexes définie sur par où est le produit scalaire de u avec X. Lorsque la variable aléatoire X est discrète, on définit sa fonction génératrice par avec z complexe (quand cela a un sens). Avec les notations précédentes on a donc cette fonction G est donc en fait un prolongement de φX. Propriétés