Produit de Cauchy

déplacements u1 et u2 dans les directions e1 et e2 , les côtés de l’élément tournent des angles : ∂u β1 = ∂X2 = u2,1 = ∂1 u2 1 (2.2) ∂u β2 = ∂X1 = u1,2 = ∂2 u1 2 x2 β1 β2 0 x1 Figure 2.4 – Distorsion d’un solide Une petite rotation d’ensemble produit une augmentation de l’un de ces angles et réduit l’autre de la même quantité. Leur somme n’est donc pas modifiée par une rotation pure, ce qui permet de définir la déformation comme : 1 1 εij = (ui,j + uj,i ) = (∂j ui + ∂i uj ) (2.3) 2 2 Les deux indices

d’´crire de telles e a a ee e d´finitions. e Exemple 1.2 On prend ici D =]0, ∞[ f (x) = 1. limx→0,x>0 f (x) = +∞, 2. limx→+∞ f (x) = 0. 1 pour x ∈ D. On a alors ; x2 1.2 Op´rations sur les limites e Proposition 1.6 (Limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient) Soit f, g deux applications de D ⊂ R dans R et a, b, c ∈ R t.q. b < a < c et D ⊃]b, a[∪]a, c[. Soit l, m ∈ R t.q. limx→a f (x) = l et limx→a g(x) = m. Alors : 1. limx→a (f + g)(x) = l + m, 2. limx→a f g(x) = lm, 3. Si m = 0, il existe

paysage. Espace plantable : espace qui représente l’ensemble des espaces aériens et souterrains réservés à la plantation. Gymnosperme : végétal ligneux dont les ovules nus sont directement accessibles au pollen. Ligneux : se dit d’un végétal qui produit de la lignine. Méristème : massifs de cellules indifférenciées qui conduisent aux différents organes et tissus de la plante (croissance en longueur et en largeur). Phloème : tissu conducteur de la sève élaborée. Plante exotique : plante poussant hors

CONTINUITE 1.1.4 Opérations F(D, R) désigne l’ensemble des fonctions définies sur D à valeurs dans R. Soient (f, g) ∈ F 2 (D, R), λ ∈ R, on définit : La somme de f et de g par : ∀x ∈ D, (f + g)(x) = f (x) + g(x). Le produit de f et de g par : ∀x ∈ D, (f · g)(x) = f (x) · g(x) Le produit de f par le réel λ par : ∀x ∈ D, (λf )(x) = λf (x). On pose D1 = {x ∈ e; g(x) ￿= 0} et D2 = {x ∈ D; g(x) ∈ D}. 1 1 Sur D1 on définit l’inverse de g par : ∀x ∈ D1 , g (x) = g(x) . Sur D2 la composée de g suivie de f (ou

....................................................................... 202 VI-2.3.1 Similitude de Weber................................................................................................................. 202 VI-2.3.2 Similitude de Cauchy............................................................................................................... 203 VI-2.4 CONCLUSION SUR LES MODELES REELS.......................................................................................... 203

− f0 ), est très importante : elle indique en effet que les exponentielles complexes sont orthogonales deux à deux +∞ −∞ ej2πf0 t e−j2πf t dt = δ(f − f0 ), c’est-à-dire que les exponentielles complexes forment une base orthogonale5 , au sens du produit scalaire habituel ∞ x(t)y ∗ (t)dt. < x, y >= −∞ Rappelons qu’alors, si les ef (t) = décomposition ej2πf t sont les vecteurs de base, on peut exprimer tout signal x(t) par la ∞ x(t) = −∞ < x, ef (t) > ef (t)dt, où < x, ef (t) > est la composante

Zt repr´sente la tendance (d´terministe), St la saisonnalit´ (d´terministe aussi) et ǫt les u e e e e composantes (”erreurs au mod`le”) al´atoires iid. e e 2. le mod`le multiplicatif. La variable Xt s’´crit au terme d’erreur pr`s comme le produit de e e e la tendance et d’une composante de saisonnalit´ : e Xt = Zt (1 + St )(1 + ǫt ). L’ajustement est ici multiplicatif et intervient dans les mod`les (G)ARCH. e – les mod`les stochastiques. Ils sont du mˆme type que les mod`les d´terministes

que les raidisseurs sont constitués d’un matériau composite, résine époxy fibres de carbone à 30% de fibres. La température de réticulation de la résine est aux alentours de 200°C, cependant on considère que l’adhérence complète fibre matrice se produit aux alentours de TR=90°C. La température au sol est de To=20°C et en altitude de croisière de T=-50°C. Le coefficient de dilatation thermique de la résine est αm=80.10-6 tandis que celui des fibres vaut αf=9.10-6. • Question 1 : Influence du procédé

frottement interne du matériau équivalent. R s sr snr t TC v α β η ϕc ϕs ϕéq γs γc γw σ Poids volumique du sol initial. Poids volumique du matériau constitutif des colonnes. Poids volumique de l’eau interstitielle. Tenseur des contraintes de Cauchy (composantes σij ). Contrainte latérale. c ult s ult σh σ σ ∑ Contrainte verticale ultime des colonnes. Contrainte verticale ultime du sol initial. Surface de discontinuité de vitesse. Fonction d’appui d’un convexe. Domaine borné de R 3

|a| ≤ r ⇔ −r ≤ a ≤ r et |a| ≥ r ⇔ a ≤ −r ou a ≥ r. 6. ∀a, b ∈ R, ∀r > 0 : |a − b| ≤ r ⇔ b − r ≤ a ≤ b + r. ` CHAPITRE 1. ALGEBRE 1.1.5 3 Puissances enti` eres - Racines Puissances enti` eres Si x ∈ R et m ∈ N0 alors xm = x . x . . . . . x (produit de m facteurs ´egaux `a x). Par convention, x0 = 1. 1 Si x ∈ R0 et m ∈ N alors x−m = m . x Propri´ et´ es si m est pair alors xm si m est impair alors xm ∀a ∈ R, ∀m ∈ N : |am | = |a|m . ∀a, b ∈ R : a2 = b2 ⇔ a = b ou a = −b. ∀a, b ∈ R : |a| ≤ |b|