Produit de Cauchy

risques opérationnels se divisent en neuf grandes catégories (voir annexe C pour plus de détails): Fraude interne (R1) Fraude externe (R2) Dysfonctionnement de l’activité et des systèmes (R3) Dommages aux actifs corporels (R4) Clients / Tiers et produits (R5) Exécution et gestion des processus (R6) Pratiques en matière d’emploi et sécurité sur le lieu de travail (R7) Règlementation et conformité (R8) Pilotage (cette catégorie est évoquée à indicatif mais elle est exclue dans la Directive) Ces risques

. . . . . . . . . . . 4 TABLE DES MATIÈRES A.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1 Coordonnées cartésiennes, cylindriques, et sphériques . . . . . . . . . . . . . . . A.1.2 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.3 Surface et calcul de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.4 Calcul des volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 et φ2 (a) = 0, φ2 (b) = 1. sont souvent notés Exercice 1.19 Soit le polynôme de degré n+1 : n ∏ πn+1 (x) = (x − xi ). (1.7) i=0 Montrer que le polynôme d'interpolation p(x) = ∑n i=0 yi Li (x), cf. (1.6), s'écrit également comme le produit (facile à calculer) : P (x) = πn+1 (x) n ∑ i=0 yi . ′ πn+1 (xi )(x − xi ) Ecriture condensée abusive qu'il faut comprendre comme noté πn+1 (x) déf = (x − xi ) Réponse. n ∑ ∏ j=0 i=0,...,n i̸=j ∏ P (x) = n ∑ i=0 (1.8) yi πn+1 (x) , ′

les differents outils mathematiques utiles aux autres disciplines ı Programme ´ ´ ´ ´ ´ ` ´ • Equations differentielles : equations differentielles lineaires et non lineaires, systemes differentiels de petites dimensions. ´ • Calcul matriciel : produit de matrices, determinant, diagonalisation. ´ ´ ´ ´ • Fonctions de plusieurs variables : differentielle, derivees partielles, representations graphiques, exemples d’EDP. ´ ´ ´ • Calcul integral : calcul de primitives, calcul d’aires, integrales multiples

segment [M, f (M)]. Montrer que f est une affinité. Page 50 sur 78 Chapitre 3 Espace affine euclidiens 3.1 Notions de base − − − − Dans toute la suite, on désigne par E un espace euclidien. Pour → u ∈ E et → v ∈ E, → u .→ v désigne le → − → − produit scalaire de u par v . Définition 23 Soit E un espace affine de direction E. On dit que E est un espace affine euclidien, si E est un espace euclidien. Remarque 27 Rappelons qu’un espace euclidien E est un espace préhilbertien de dimension finie. Donc

multiplicatif. Determiner G. 39. A quelle(s) condition(s) une matrice A 2 Mn(Z) est-elle inversible dans Mn(Z) ? 40. Soient A1; : : : ; Ap p elements deux a deux distincts, appartenant a GLn (C ). Soit G = fA1; : : :; Apg. On suppose G stable pour le produit. (a) Montrer que (G; ) est un groupe. (On pourra utiliser le premier exercice d'algebre). (b) Soient (X1; X2; : : : ; Xn ); (Y1; Y2; : : : ; Yn ) deux familles d'elements de Mn;1 independants. Montrer : (Xi tYj )i;j (i;j)2(N ) est une base de Mn(K

Dansle casdesfaiblesperméabilités, l'essaià chargeconstante seraittroplong,les débitsétanttrèsfaibles.On procèdealorsà chargevariable: l'eau provientd'un tubete faible diamètre(sections) reliéà l'échantillon. Au fur et à mesureque l'écoulement se produit,le niveaude I'eaudansle tube baisse(chargevariable).On mesurele tempst nécessaire pour queI'eaudescende du niveauh1au niveauh2(fig.8). Danscet essai,le mouvement n'estpas permanent, maisle phénomène est lenter on supposeque la loi de Darcyestapplicable

Dansle casdesfaiblesperméabilités, l'essaià chargeconstante seraittroplong,les débitsétanttrèsfaibles.On procèdealorsà chargevariable: l'eau provientd'un tubete faible diamètre(sections) reliéà l'échantillon. Au fur et à mesureque l'écoulement se produit,le niveaude I'eaudansle tube baisse(chargevariable).On mesurele tempst nécessaire pour queI'eaudescende du niveauh1au niveauh2(fig.8). Danscet essai,le mouvement n'estpas permanent, maisle phénomène est lenter on supposeque la loi de Darcyestapplicable

R) ». 6. Écrire à l’aide des quantificateurs la phrase suivante : « Pour tout nombre réel, son carré est positif ». Puis écrire la négation. 7. Mêmes questions avec les phrases : « Pour chaque réel, je peux trouver un entier relatif tel que leur produit soit strictement plus grand que 1 ». Puis « Pour tout entier n, il existe un unique réel x tel que exp(x) égale n ». 2. Raisonnements Voici des méthodes classiques de raisonnements. Logique et raisonnements 15 2.1. Raisonnement direct On veut

. . . . . . 1.2.2 Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire réelle 1.2.3 Exemples de lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Espace produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Loi conjointe, lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Vecteurs aléatoires réels . . . . . . . . . . .