On Considère La Fonction F Définie Sur R Par F X X² E X 1 X² 2

Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats PARTIE A : R ESTITUTION ORGANISÉE DE CONNAISSANCES On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y ′ = a y où a ∈ R sont les fonctions g définies sur R par g (x) = K eax où K ∈ R. Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) y ′ = a y + b où a ∈ R∗ et b ∈ R. b 1. Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x) = − est une solution de (E). a 2. Soit f une fonction définie

Cours Equations différentielles ordinaires Master Maths-Info à l’Université du Havre Gisella Croce 2 Table des matières 1 Systèmes différentiels linéaires 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Etude de Y ′ (t) = AY (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Matrice fondamentale de solutions . . . . . . . . . . . . . 1.4 Etude de Y ′ (t) = AY (t) + B(t) . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Équations différentielles d’ordre p à coefficients constants 1.6 Etude

Sujet 1, Sujet national, juin 2011, Exercice 4 L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i, j, k). Partie A On désigne par P le plan d’équation ax + by + cz + d = 0 et par M0 le point de coordonnées (x0 ; y0 ; z0 ). On appelle H le projeté orthogonal du point M0 sur le plan P. On suppose connue la propriété suivante. Propriété : Le vecteur n = ai + bj + ck est un vecteur normal au plan P. Le but de cette partie est de démontrer que la distance d(M0 , P) du point M0 au plan P, c’est-à0 +by0

sur les fonctions Exercice 1 [ 01779 ] [correction] Soit f : R → R telle que f ◦ f est croissante tandis que f ◦ f ◦ f est strictement décroissante. Montrer que f est strictement décroissante. 1 f (x) = ln x2 + 1 + x Exercice 3 [ 01783 ] [correction] Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe. Exercice 4 [ 00501 ] [correction] Soit f une fonction croissante de [0, 1] dans [0, 1]. a) Montrer que s’il existe x ∈ [0, 1] et k ∈ N tels que f k (x) = x alors

Calculatrices et documents ne sont pas autorisés. E XERCICE 1 On considère la fonction : f : x → 2 arctan 1−x + arcsin(2x − 1) x Démontrer que f est constante sur son domaine de définition, et déterminer sa valeur. E XERCICE 2 On considère l’équation différentielle (non linéaire) suivante : x y − 2|y| = x 1. On introduit les deux équations différentielles suivantes : x y − 2y = x x y + 2y = x (a) ⊂ R∗ + (E + ) (E − ) (E ) i. Soit I un intervalle. Résoudre (E + ) sur I . (on pourra chercher une solution

la fonction f : x ! y ' = − y2 . La fonction f : x ! 2 1 = −   = − [ f ( x)] . 2 x  x f est donc bien une solution particulière de l’équation différentielle y ' = − y 2 . 1 est une solution particulière de l’équation différentielle : x 1 2 1 est dérivable sur R* et ∀x∈R* x f '( x) = − I Sauriez-vous trouver une solution particulière (non forcément dérivable sur R) de l’équation 1 ? y' = 2y 1 1 . La fonction f : x ! x est dérivable sur ]0 ; +∞[ et ∀x∈ ]0; + ∞ [ f '( x) = =

Probabilités : explication de la théorie 1 Espace probabilisé. Une expérience aléatoire est une expérience qui peut être répétée et dont on ne peut pas prévoir l’issue. Exemple : Résultat du lancé d’un dé à six faces, temps d’attente du bus 4 place Pie à 16 heures, nombre d’éléments défectueux dans une chaine de montage chaque jour . . . Modélisation théorique : Il s’agit de définir l’ensemble des issues possibles de l’expérience : On notera Ω cet ensemble que l’on appellera « univers des

maths Exercice 1. 4 points Commun à tous les candidats QCM. 1 1. Pour tout réel a non nul, le nombre réel e− a est égal à : 1 d. ea ea e 1 1 1 1 C’est une définition de l’inverse d’un réel b qui est b −1 = avec ici b = e a puisque e− a = e a b 1 a. −e a b. 1 c. 1 a −1 . a 2. Pour tout réel a, le nombre réel e 2 est égal à : a. ea b. ea 2 c. Encore une question de cours, pour x réel positif on a 3. Pour tout réel x < 0, le nombre

Mathématiques n° 2 Les feuilles annexes sont à rendre avec la copie EXERCICE 1 – (6 points) Une entreprise fabrique des pizzas comptées par lots de 40 pizzas. Les coûts de production sont, d'une part, les coûts fixes (amortissement du four, assurances, ...) d'autre part, les coûts variables (ingrédients, salaires, ...) qui dépendent du nombre q de lots fabriqués. On suppose qu'elle vend toute sa production. On estime que la fonction de coût (total) de cette entreprise est donnée par la fonction suivante

Continuité et Limites ............................................................................ 4 I. Notion de Continuité 4 II. Les Limites 5 Chapitre II : Dérivation et Etude de fonctions ....................................................... 11 I. Nombre dérivé - Fonction dérivée 11 II. Dérivation et Etude de fonction 12 III. Equation d’une tangente à une courbe 13 IV. Dérivation et Valeur Intermédiaire 14 Chapitre III : Calcul intégral..........................................................