Notation de Leibniz

. . 2.3 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 La droite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Écriture décimale . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Opérations sur les nombres réels . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Règles concernant les fractions . . . . . . . . . 2.5.2 Puissances, bases et exposants . . . . . . . . . 2.5.3 Les identités remarquables

bien celui affirmé dans le théorème. Posons ce reste comme étant R(x) = D(n+1)(h)(c) (n+1)! ψ(n+1)(x). Pour obtenir ce reste, on doit comparer les polynômes h(x) et Pn(x), ce dernier est défini en (2.4). Posons Rn = h − Pn (afin de simplifier la notation, on pose temporairement R = Rn et ψ = ψ(n+1)). Grâce à la définition de ψ qui généralise les puissances, on sait qu’en x0, D(k)(R)(x0) = D(k)(ψ)(x0) = 0 (2.5) pour k = 0, 1, . . . , n. En effet, ψ(x0) = ψ(n+1)(x0) et ψ(n+1)(x0) =  X(n+1)(x0)

complexes, et la limite d’une suite complexe convergente est aussi unique. La formulation 2.5 reste ´egalement valable, si on d´efinit le ε–voisinage du nombre complexe a exactement comme dans le cas r´eel : Uε (a) = Da,ε := {z ∈ C; |z − a| < ε}. La notation Da,ε doit rappeler que c’est le disque ouvert de centre a et de rayon ε dans le plan de Gauß. D´ efinition 2.28 Une partie U ⊂ C est un voisinage du point a ∈ C s’il contient un ε–voisinage de a, c’est-` a-dire s’il existe un ε > 0 t.q. Uε (a)

de Lindemann-Weierstrass qui permet de définir la transcendance de certaines puissances de l'exponentielle. HistoriqueSi la notion de nombre irrationnel remonte aux Grecs, l'idée de nombre transcendant n'a pu se dégager qu'après la création de notations algébriques assez développées pour que le concept de polynôme de degré quelconque puisse être clairement formulé ; aussi est-ce seulement au XVIIème siècle que l'on commence à faire la distinction entre les nombres algébriques, tels que √3/2 ou cos (π/n)

se charge de son instruction, bien négligée jusqu'à ce moment. Etapes de sa vie adulte : Il a d’abord été laquais chez un comte, puis musicien et secrétaire d’ambassade à Venise. En 1742, il s’installe à Paris. Là, il présente une méthode de notation musicale qu’il a inventée, sans succès. Il fréquente le milieu littéraire et rencontre notamment Diderot, Condillac, Grimm, d’Alembert avec qui il se lie. Rousseau rédige des articles de musique pour l’Encyclopédie. À Paris également, il rencontre

en Hollande, puis revient en France. Ce qu'il a écrit pendant cette période se trouve dans un petit registre mentionné dans l'inventaire fait à Stockholm après sa mort, mais il est aujourd'hui perdu. Il nous est néanmoins connu par Baillet et par Leibniz qui en avait fait des copies. Ces copies furent retrouvées par Foucher de Careil et publiées en 1859 sous le titre Cogitationes Privatae. Mais il se trouve qu'elles ont depuis de nouveau disparu. De cette époque nous possédons également un De Solidorum

subalternation qui conclut d’une universelle à une particulière est dès lors incorrecte. On le voit clairement à partir de l’exemple suivant : Tout carré rond est rond Quelque carré rond est rond Si on n’y prend garde, on peut ainsi, comme l’a noté Leibniz, prouver, à peu de Théorie des syllogismes 17 frais, l’existence d’un être nécessaire (Dieu) : Tout être possédant l’existence nécessaire est possédant l’existence nécessaire Quelque être possédant l’existence nécessaire est possédant

définie, elle est dérivable et ( fog ) ′( x ) = f ′ g ( x ) g ′ ( x ) . b g 5°/ Dérivées d’ordre supérieur Il peut être utile de calculer la dérivée nième d’un produit de deux fonctions n fois dérivables, ce calcul se fait en utilisant la formule de Leibniz : bfg g (n ) k =n ( x ) = ∑ C nk f k =0 (k ) ( x ) g ( n − k ) ( x ) avec la convention habituelle f (0) (x ) = f (x ) . Les nombres C nk sont ceux qui interviennent dans la formule du binôme de Newton. 6°/ Fonctions réciproques : Le théorème

un résultat érroné car 8 ! = 40 320 est en dehors de l’intervalle permis. Domaine de définition Sous-ensemble de Z -32768…….32767 Opérateurs arithmétiques +, - , *, / , DIV , MOD Opérateurs relationnels Notation algorithmique < , >, = , ≤ , ≥ , ≠ Notation en Pascal < , >, = , = , 14 Les Structures de Données b. Déclaration • Au niveau de l’algorithme Objet Type / Nature Rôle Nom entier Rôle • Au niveau du Pascal Var Nom : integer ; c. Application

s’agit d’´preuves de concours de longueur importante, le bar`me doit en tenir compte. e e ´ d) Evaluation et notation des ´tudiants e La communication des objectifs ` atteindre et la mise en œuvre de formes diversifi´es d’´valuation peuvent aider a e e de mani`re efficace les ´tudiants ` progresser, ` se situer et ` affiner un choix d’orientation. e e a a a La pertinence du calibrage de la notation constitue un objectif important ; ce calibrage doit ˆtre ´tabli en e e relation avec les performances attendues