Multiplicateur de Lagrange

q1 = f( K, L ) On va construire, comme lorsqu’il s’agit de rechercher l’optimum du consommateur, une fonction de Lagrange. [ partir plutôt de £ = Q + ( CT – wL – rK ) ] £ = Pk . K + PL . L +  [ q - f( K, L ) ] Les valeurs de K et de L qui minimisent la fonction £ minimisent également le cout total. Le coefficient  est appelé multiplicateur de Lagrange. Les conditions primaires de l’optimum supposent la nullité des dérivées premières par rapport à K, L,  . £ . =

le besoin de main d’oeuvre détermine le nombre d’habitants. Mais c’est avec Malthus que l’étude de la démographie prend un nouveau visage, lors de la parution en 1798 de l’"Essai sur le principe de population". Malthus déclare que "le pouvoir multiplicateur de la population est infiniment plus grand que le pouvoir de la terre de produire la subsistance de l’homme". Aussi l’homme doit-il par tous les moyens pallier aux menaces de la loi de population. En effet, les moyens de subsistance ne croissent

intégrale, équation différentielle). Le XVIIIe siècle L'univers mathématiques du début de XVIIIe siècle est dominé par la figure de Leonhard Euler [14] et par ses apports tant sur les fonctions que sur la théorie des nombres, tandis que Joseph-Louis Lagrange éclaire la seconde moitié de ce siècle. Le siècle précédent avait vu la mise en place du calcul infinitésimal ouvrant la voie au développement d'un nouveau domaine mathématique : l'analyse algébrique dans laquelle, aux opérations algébriques classiques

l’objet d’un traitement rapide en séance 2) Question 1.5. L’effet d’un changement de prix : effet revenu et effet substitution a. Le programme du consommateur s’écrit : Max. U ( x1 , x 2 ) = x1 ( x 2 − 1) s.c. p1 x1 + p 2 x 2 = R Méthode du multiplicateur de Lagrange : L = x1 ( x 2 − 1) + λ ( R − p1 x1 − p 2 x 2 ) Conditions d’optimalité : ∂L = x 2 − 1 − λp1 = 0 ∂x1 ∂L = x1 − λp 2 = 0 ∂x 2 ∂L = R − p1 x1 − p 2 x 2 = 0 ∂λ (1) et (2) => Et donc : (1) (2) (3) x 2 − 1 x1 = p1 p2 p1 x1 = p 2 ( x 2 − 1)

mécanismes 3) et 4) se propagent dans le temps, les effets négatifs des taxes semblent l’emporter après quelques années. Quant aux deux autres résultats dont la robustesse reste à vérifier mais qui ouvrent des perspectives intéressantes : 6) les multiplicateurs de dépense au niveau fédéral sembleraient inférieurs par rapport à ceux au niveau provincial, et 7) les effets distorsifs des taxes y seraient plus forts. Mots clés : activité économique, dépenses budgétaires, prélèvements fiscaux, effets distorsifs

ALGORITHMES DE SIMULATION ET D’OPTIMISATION a) GÉNÉRALITES SUR L’ANALYSE NUMÉRIQUE b) LES ALGORITHMES DE LA SIMULATION i - Les méthodes "géométriques" de résolution de systèmes d’équations La méthode dichotomique La méthode de la sécante (dite de Lagrange ou des parties proportionnelles) La méthode de la tangente (dite de Newton) ii - Les méthodes "algébriques" de résolution de systèmes d’équations La méthode Gauss-Seidel Les méthodes de relaxation, d’élimination et de triangularisation iii -

d’assurer au consommateur un niveau de satisfaction constant U0 = z. 2°) Montrer que x1* et x2* ainsi trouvées minimisent la dépense du consommateur. 3°) Si p1 = 1 et p2 = 3, calculer ce panier optimal. 4°) Interpréter et calculer le multiplicateur de Lagrange. Exercice 9 La fonction d’utilité d’un consommateur s’écrit : U(x1,x2) = x1 + x2². Soient p1 et p2 les prix respectifs des biens 1 et 2 et R le revenu exogène du consommateur. 1°) Déterminer les fonctions de demande marshalliennes

est donc le suivant : 8 P1 p Y wt Lt pIt (1+ )It < max V0 = t=0 t t (1+i)t+1 Y = Kt L 1 t : t Kt+1 = (1 )Kt + It Pour déterminer les conditions d’ optimalité de l’ entreprise on écrit le lagrangien suivant : 6 L = V0 + où t est le multiplicateur de Lagrange courant associé à l’ équation d’ accumulation du capital. Noter que t est aussi le prix implicite du capital. Les conditions du premier ordre sont alors, pour une période t quelconque : 8 1 @Y > @L = pt @Lt wt = 0 > @Lt (1+i)t+1 t < que

autres trimestres, (1) Cette équation passe avec succès les tests de spécification proposés par exemple par Hendry et Krolzig (2001) : test de normalité : Khi2(2) = 0,32 ( seuil d’acceptation : 0,85) test d’autocorrélation des résidus (multiplicateur de Lagrange à l’ordre 4) : F(4,56) = 0,44 (seuil d’acceptation : 0,77) test d’hétéroscédasticité : F(5,17) = 0,56 (seuil d’acceptation : 0,90) test d’échec prédictif de Chow : F(24,36) = 1,06 (seuil d’acceptation : 0,45). Juin 2012 27 La consommation

utilise le r´sultat suivant : e ˆ ˆ LR = −2 log L(θ) − log L(θc ) − − → χ2 , −− r N →∞ L o` θc est l’estimateur du maximum de vraisemblance sous la contrainte. u ˆ Score On peut aussi utiliser la nullit´ du score (aussi appel´ test du multiplicateur de Lagrange), en mesurant e e ˆ la norme || · ||2 du score ´valu´ en θc : e e ∂ log L(θ) ∂θ ˆ I(θc )−1 ˆ θ=θ c ∂ log L(θ) ∂θ ˆ N →∞ θ=θ c − − → χ2 . −− r L test de Wald Le test de Wald, proche du test de score, sert sp´cifiquement ` tester