Multiplicateur de Lagrange

f(−3/4, 2(−3/4) + 2) < f(x1, 2x1 + 2), ∀x1 6= −3/4, cad f(−3/4, 1/2) < f(x1, x2), ∀(x1, x2), t.q. x2 = 2x1 + 2 , x1 6= −3/4 cad (−3/4, 1/2) fournit un minimum global strict à f sous la contrainte x2 = 2x1 + 2.) Par la méthode des multiplicateurs de lagrange : On pose g(x1, x2) = 2x1 − x2 + 2 . f et g sont de classe C2 sur IR2. gradg(x1, x2) = (g′x1(x1, x2), g′x2(x1, x2)) = (2,−1) 6= (0, 0) donc la qualification des contraintes est vérifiée en tout point de IR2. On pose L(x1, x2, λ) = f(x1,

d'équation. => Cf Cours Maximilien Troisième méthode (assez technique) pour calculer l'optimum du consommateur : Le multiplicateur de Lagrange (= le lagrangien) - On construit une nouvelle fonction qu'on appelle la fonction de Lagrange et que l'on note fn L L = f(x,y) + μ . g(x,y) où g est la contrainte budgétaire - On calcule les trois dérivées partielles de la fonction de Lagrange δL/δx = f(x) + μ.g(x) δL/δy = f(y) + μ.g(y) δL/δμ = g(x,y) Pour que L ait un minimum, il faut que les trois dérivées

matrice A est e e A= µ1 · · · 1 ··· µn 1 et b = (r, 1)T Mais on peut ajouter des contraintes, du type, limiter l’exposition des actifs d’un secteur donn´ a 10%. e` Le lagrangien s’ecrit 1 L = π T Qπ − αT (Aπ − b) 2 avec α le vecteur des multiplicateur de Lagrange Les conditions du premier ordre sont ∂L = Qπ − AT α = 0 ∂π d’ou π = Q−1 AT α On remplace π dans la contrainte Aπ = b, pour trouver α = (AQ−1 AT )−1 b puis π = Q−1 AT (AQ−1 AT )−1 b on peut ensuite calculer le rendement du portefeuille µp

Le bureau a, comme une entreprise, des contraintes techniques, réservées dans une fonction de cout C(y), croissante, convexe (C’>0, C’’>0) Programme : Max Byx. B(y)≥C(y) Le budget doit couvrir les couts. On résout le programme. Le Lagrange associé à la contrainte. Lagrangien : B(y) + λ(B(y) – C(y)) On suppose B(0)=C(0)=0 Et B’(0)>C’(0) Graph 6 Solution calculée : B’+λ(B’-C’) =0 <-> B’(Y*)=11+λ C'(Y*) avec λ>0 (la contrainte « nord » : elle limite activement

. . 1]′ . Résoudre ce problème de minimisation nous permet de définir l’équation de la frontière efficiente définie par Markowitz. Nous déterminons pour cela le lagrangien : L = ω ′ Σω + λ1 (µp − ω ′ µ) + λ2 (1 − ω ′ e) avec λ1 et λ2 les multiplicateurs de Lagrange. La condition d’optimalité du premier ordre s’écrit : λ1 −1 λ2 ∂L = 2Σω − λ1 µ − λ2 e = 0 ⇔ ω = Σ µ + Σ−1 e ∂ω 2 2 En combinant avec les 2 contraintes, nous avons : ω ′ µ = µp ⇔ ω′ e = 1 µ′ ω e′ ω = µp ⇔ =1 λ1 µ′ Σ−1 µ + λ2 µ′ Σ−1 e = 2µp

substitution » ou par la méthode de « Lagrange » a. La méthode de Lagrange La méthode de Lagrange permet de résoudre les programmes d’optimisation à contrainte «égalités» comme c’est le cas pour le problème du consommateur Cette méthode est également appelée méthode du lagrangien ou encore méthode du multiplicateur de Lagrange noté λ Samira OUKARFI – MICROECONOMIE Le comportement du consommateur (54) Le choix optimal du consommateur La méthode de Lagrange consiste à former, à partir de la

= 1, ..., L    i=1     λi (ui (xi ) − ui (x∗i )) = 0, ∀ i = 1     γ ≥ 0, ∀ = 1, ..., L   λi ≥ 0, ∀i = 1 (3.12) o` u γ := (γ 1 , ..., γ , ..., γ L ) et λi ∈ R pour tout i = 2, ..., I et γ ∈ R pour tout = 1, ..., L sont les multiplicateurs de Lagrange associ´es respectivement 21 I aux contraintes ui (xi ) − ui (x∗i ) ≥ 0 et r − xi ≥ 0. i=1 0 est une alNous supposons maintenant que x = (x∗1 , ..., x∗i , ..., x∗I ) I−1 ∗ ∗ ∗ location r´ealisable et qu’il existe (λ2 , ..., λi , ...

constituer des portefeuilles en sélectionnant A actifs risqués a = 1, ..., A. Le problème s’écrit donc :  1   minx 2 x> .σ.x      sous les contraintes : P (R) :   x> .1 = 1 (µ)      R.x = R (λ) (7) où µ et λ sont les multiplicateurs de Lagrange associés aux contraintes, σ est matrice des covariances, x est le vecteur colonne des parts investies dans les différents actifs, 1 est le vecteur colonne dont toutes les composantes sont égales à 1, R est le vecteur ligne des rendements

C[X] ; factorisation. - Décomposition en éléments simples dans R(X), C(X).  Groupes, Anneaux et Corps - Introduction rapide à la notion de groupe, sous groupe. Ordre d’un élément. Sous-groupe engendré par un élément. Groupes cycliques. Théorème de Lagrange. - Anneaux commutatifs, exemples, idéal d’un anneau commutatif. Corps.  Arithmétique - Division euclidienne dans Z . Idéaux de Z . Divisibilité, PGCD, PPCM. Théorème de Bezout. - Procédure de calcul du PGCD, Procédure de calcul des couples de Bezout

Zi v i =1 Pour que l’estimateur soit sans biais, il faut imposer la n contrainte habituelle : ∑ λi = 1 i =1 École Polytechnique - GLQ3401 Krigeage - D. Marcotte 7 On a un problème de minimisation sous contrainte => méthode de Lagrange, i.e. on forme le lagrangien. 2 L(λ, µ) = σe  n  + 2µ  ∑ λi - 1    i=1  n n n  n  = Var[Z v] + ∑ ∑ λi λ j Cov[Zi , Z j] - 2 ∑ λi Cov[Zv , Zi] + 2µ  ∑ λi - 1   i =1 j=1 i =1  i=1  Poser les dérivées partielles par rapport