Multiplicateur de Lagrange

la fonction de Lagrange . Cette fonction de lagrange a 2 propriétés : _ Elle relie la fonction objective à la fonction contrainte par un multiplicateur que l'on appel multiplicateur de Lagrange : voir dans le livre ^^ _la solution de la fonction de Lagrange est la solution de la fonction de production et de la fonction cout . Pour trouver cette solution optimal on peut donc poser les condition 1éres par rapport au différente variable qui sont intégré dans la fonction de Lagrange . La fonction

𝑦𝑛0 = 1 𝑛 𝑍′ 𝐼𝑛 𝑍 • Remarque • IT =V(X)+V(Y)=Tr(A) L'inertie totale est la trace de la matrice A , somme des éléments diagonaux V(X) et V(Y) : IT = Tr (A)=   d)- Méthode des multiplicateurs de LAGRANGE • Revenons au problème de maximisation de l’inertie expliquée. • On doit maximiser sous la contrainte : • . 𝑢′𝐴𝑢 𝑢 𝑄 2 = 𝑢′𝑢 = 1 𝑂𝑛

: e e I I J J max (x,q,h) i=1 φi (xi ) + i=1 φi (h) − j=1 cj (qj ) − j=1 cj (hj ) s.c. h I J i=1 xi = j=1 qj J = j=1 hj Introduisons la contrainte sur la pollution dans la fonction objectif et notons λ le multiplicateur de Lagrange associ´ ` la contrainte d’´quilibre sur le march´, le Lagrangien du ea e e probl`me d’optimisation s’´crit : e e     I I J J J I J L(x, q, h, λ) = i=1 φi (xi ) + i=1 φi  j=1 hj  − j=1 cj (qj ) − j=1 cj (hj )

deux biens dont les prix sont px et py. Il doit ainsi exécuter le programme suivant : Maximiser U = U (x,y) sous la contrainte budgétaire R = Px X + Py Y Ce programme est résolu par la méthode du multiplicateur de Lagrange (L) L = U (x,y) + £ [R – Px X – Py Y] où £ est appelé multiplicateur de LAGRANGE La fonction L admet un extremum si les dérivées premières à x, y et £ sont nulles. L = Umx - £Px = 0 (1) X L = Umy - £Py = 0 (2) Y L = R – Px X – Py Y = 0 (3) £ On a

sommes devant un problème d’optimisation sous contrainte afin de déterminer les choix optimaux pour le consommateur 37 Lagrange. Pour cela, nous allons utiliser la méthode dite du multiplicateur de Lagrange. Le Lagrangien L du problème s’écrit: s’écrit: L = U ( x1 , x2 ,....., xn ) + λ ( R − p1 x1 − p2 x2 − ....... − pn xn ) λ : est le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte budgétaire La solution optimale du problème vérifie les conditions : ∂L ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0

Interpolation 5.1 Exemples et motivations . . . . . 5.2 Le problème de l’interpolation . . 5.3 L’interpolation polynomiale . . . 5.3.1 La méthode de Lagrange 5.3.2 La méthode de Newton . 5.3.3 L’erreur d’interpolation . 5.4 La méthode de splines . . . . . . 5.4.1 Les splines cubiques . . . 5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Interpolation de Lagrange 5.5.2 Interpolation de Newton . 5.5.3 Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

le « 2 » par lequel on avait multiplié L1 ⎛ 1 2 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 − 5 5 − 5⎟ ⎜2 − 2 5 1 ⎟ ⎝ ⎠ On pivote maintenant sur la ligne 2, le pivot vaut « -5 » (a22) L2 ne change pas, et L3=L3 - (-2/-5) L3 Au lieu des 0 on a conservé les coefs. multiplicateurs ⎛ 1 2 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 − 5 5 − 5⎟ ⎜2 2/5 3 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 2 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 − 5 5 − 5⎟ ⎜2 2/5 3 3 ⎟ ⎝ ⎠ Augmentée finale. On en déduite la forme triangulaire de A et la nouvelle forme de b ⎛2⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ A = ⎜ 0 − 5 5 ⎟ et b = ⎜

anticipation) , Var[R] sa variance, et k dépend du niveau de confiance souhaité (intervalle de confiance à 95% par exemple) ; ce paramêtre admet également une interprétation fondamentale dans le cadre de la dualité convexe : il joue le rôle de multiplicateur de Lagrange. La difficulté est alors de garantir que la fonction d'utilité estimée sera bien strictement concave. En effet si par malheur l'estimation numérique des grandeurs (en particulier de la matrice de covariance ) produit une fonction

budgétaire dU  dx 4) Le choix optimal du consommateur • Maximiser U  Ux 1 ,x 2 ,...,x h ,...,x n  sous la n contrainte de R   p i x i i1 • D’après la méthode du multiplicateur de Lagrange , le Lagrangien s’écrit: L  Ux 1, ...,x n   R p1 x 1  p2 x 2 ...pn x n  Avec λ le multiplicateur de Lagrange. • La solution optimale vérifie les conditions: L x 1 , . . . , x n   0 ,pour tout h= 1, 2, …n x h U • soit x 1, ...,x 2   ph x h 0 4) Le choix optimal

l'économie. Impact d'une politique budgétaire expansionniste Une politique budgétaire expansionniste consiste en une hausse des dépenses publiques (G). Ce type de politique a donc un impact sur la courbe (IS). Définissons tout d'abord le multiplicateur des dépenses publiques: [pic]. Il indique de combien augmente le revenu en réaction à une hausse des dépenses publiques. L'équilibre keynésien implique qu'il est supérieur à 1. Pour le montrer, on peut décomposer le mécanisme en deux effets. Tout