Multiplicateur de Lagrange

plupart des g´n´rateurs sont de type « congruenciel » , c’est ` dire qu’ils fournissent e e a une suite d’entiers (xn , n ≥ 0) donn´s par la relation de r´currence : e e xn+1 = a xn + c (mod m) ; la valeur initiale x0 est appel´e racine, a est le multiplicateur, c est l’accroissement et m le e module de la suite. La suite (xn ) prend ses valeurs entre 0 et m − 1 et la suite (xn /m , n ≥ 1) prend ses valeurs dans l’intervalle [0, 1[. La p´riode maximale d’un tel g´n´rateur est m et le e e e th´or`me suivant

jtm /w o )+ jtm i j j t m ∑∑ λ ∑ z  nj n j t  tn  x j,t+1 -∑∑ z tn x it pij -∑∑ z tn v m w jtm  + t i t m  (29) ∑µ i i     1-∑ pij  +∑∑ ξ jt 1-∑ w jtm   m   j  j t Avec λ, µ, et ξ sont les multiplicateurs de Lagrange. La solution du problème ci-dessus est : Thèse de Master of Science du CIHEAM – IAMM - n° 81. 41  %  q ijexp ∑∑ x it z tn λ nj   t n  % pij =  %  ∑ qijexp ∑∑ xit z tn λ nj   t n  j (30)  %  exp  v m ∑ z tn

maximum de vraisemblance est e ` que l’on peut par la suite en proc´der ` un certain nombre de tests simples. Trois de ces e a tests sont g´n´ralement d´velopp´s : le test de Wald, le test du ratiode vraisemblance e e e e et enfin le test du multiplicateur de Lagrange. On ne pr´sentera ici que celui dont e l’impl´mentation est imm´diate une fois les estimations EMV produites : le test du e e ratio de vraisemblance. Pour les autres, voir Greene (2002), pages 479 et suivantes. Lors de l’estimation d’un

Michel Foucault avait conclu une plaquette rédigée pour sa candidature par cette formule: «Il faudrait entreprendre l'histoire des systèmes de pensée» («Titres et travaux», in Dits et Écrits. 1954-1988, éd. par D. Defert & E Ewald, collab. J. Lagrange, Paris, Gallimard, 1994, vol. 1, p. 846). 2 Elle sera publiée par les éditions Gallimard en mars 1971 sous le titre: L'Ordre du discours. 3 Ce que fit Michel Foucault jusqu’au début des années 1980. 4 Dans le cadre du Collège de France

parateur de marge maximale revient a r´ soudre le e probl` me ci-dessous d’optimisation sous contraintes (probl` me primal) : e e   minw 1 w 2 2  avec ∀i, yi < w, xi > +b ≥ 1. Le probl` me dual est obtenu en introduisant des multiplicateurs de Lagrange. La solution est fournie par un point-selle (w∗ , b∗ , λ∗ ) e du lagrangien : n L(w, b, λ) = 1/2 w Ce point-selle v´ rifie en particulier les conditions : e 2 2 − i=1 λi [yi (< w, xi > +b) − 1] . λ∗ [yi (< w∗ , xi > +b∗ )

3.7 – Exercices sur le chapitre 3 79 On acceptera que, par un théorème de Lagrange, µ doit être un extremum de la fonction n p = (pi ; i ∈ {1, . . . , n}) → F (p) := H(p) − β ( U p − E) − λ pi i=1 où β est un paramètre à déterminer par la contrainte U µ = E et λ un paramètre à déterminer par la contrainte que µ est une probabilité. Ces paramètres sont les “multiplicateurs” de Lagrange. E N 3-a) Montrer qu’il existe un unique β = β(E) ∈ R tel que CH β TE O LY 3-b)

Trois tests principaux sont utilis´s dans les mod`les ´conom´triques afin e e e e de tester des restrictions (ou hypoth`ses) sur des param`tres du mod`le. L’un e e e requi`re d’estimer le mod`le sous H0 (le test du score, ou dit des multiplicateurs e e de Lagrange), d’autres sous H1 (test de Wald), ou enfin d’estimer les deux 41 G. Chevillon, Econom´trie e mod`les (test de ratio des vraisemblances, ou test LR, pour likelihood ratio). e Ainsi selon la facilit´ d’estimation et la pr´cision du

cl' abord le critère: Trace (XI - X 2T) (XI - X:!Tf Trace X1X'1 + Trace X 2TT'X; - 2 Trace X~X2T. Si Ion voit que T doit maximiser Trace V I2T sous la contrainte TT' = 1. TT' Introduisons alors la matrice A/2 symétrique de taille p des multiplicateurs de Lagrange ., aSSOCieS aux pC p 2+ 1) . ad' 1 d . contramtes. n Olt a ors ren re maximum: Trace [ V "T - ~ A(TT' - 1)] en dérivant cette expression par rapport à la matrice T on obtient le système d'équations: en multipliant par T' soit

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plus du plein emploi: taux de chômage incompressible. Vrai: France des 30 glorieuses: tj 2 à 3% chômeurs. On n'arrivera jamais au plein emploi. Role important à l'État: role incitatif: assurer role dans la relance. Élabore Idee effet multiplicateur-> multiplicateur keynésien: injecter dans l'économie de l'argent pour augmenter pouvoir d'achat: si salaires augmentés de 5%: effets favorables: hausse taux de natalité, nvelles maisons... Injection argent cat les plus défavorisées. 2 pb: en amont: comment