Morphisme de groupes

l’associativité de la loi + et les relations précédentes. – u + ( u + u ) = u + 0E = u – u + ( u + u ) = ( u + u ) + u = 0E + u = u – On en déduit u = u . 6 Remarque Les étudiants connaissant la théorie des groupes reconnaîtront, dans les quatre premiers axiomes ci-dessus, les axiomes caractérisant un groupe commutatif. Axiomes relatifs à la loi externe. 5. Soit 1 l’élément neutre de la multiplication de K. Pour tout élément u de E, on a 1 · u = u. 6. Pour tous éléments λ et µ de K et pour tout élément

UML 19 La modélisation avec UML consiste à définir, analyser et à construire des «modèles» ou diagrammes qui représentent une abstraction d'un aspect du problème. UML 2.0 comporte treize types de diagrammes. Ils se répartissent en deux grands groupes :  Diagrammes structurels ou diagrammes statiques (UML Structure)  Diagrammes comportementaux ou diagrammes dynamiques (UML Behavior) Guide de la modélisation UML 20 Diagrammes structurels ou diagrammes statiques (UML Structure)  Ils définissent

les théorèmes et leurs hypothèses, le vocabulaire employé doivent être d'une grande précision. Pro�tez des semaines à venir pour peau�ner vos connaissances. � Pratiquez la recherche d'exercices sur votre temps personnel, indivi- duellement ou en groupe. Vous pouvez rechercher : les exercices des T.D. corrigés durant l'année, les techniques usuelles, les exercices des feuilles qui suivent,. . . . . . N'hésitez pas à nous parler des exercices qui vous posent problème ! Contenu de ces notes � ATTENTION

et valeur de xn 1 − n2 n=2 +∞ TPE 22 Existence et valeur de l’int´grale e 0 +∞ cos(nt) dt 1 + t2 TPE 23 Existence et calcul de π 2 0 1 dt 1 + tan2006 t 23 TPE 24 D´terminer l’adh´rence, l’int´rieur et la fronti`re du groupe sp´cial lin´aire SLn (R) ( ens des matrices de e e e e e e d´terminant 1). e TPE 25 π Ix = 0 ln(1 − 2x cos θ + x2 ) d θ e e a. D´terminer les valeurs de x pour lesquelles Ix est d´finie. b. Calculer Ix al’aide d’une somme de Riemann.

Soient u 2 L(E; F ) ; v 2 L(E; G) , montrer : (9w 2 L(F; G)=v = w u) , Ker(u) Ker(v). (b) Soient u 2 L(E; G) ; v 2 L(F; G) , montrer : (9w 2 L(E; F )=u = v w) , Im(u) Im(v). 26. (a) Soient G1 et G2 deux sous-groupes d'un groupe G, strictement inclus dans G. A quelle condition G1 G2 est-il un groupe ? 91 (b) Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie n 2 N . Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E , de m^me dimension. Montrer que F1 et e F2 possedent un supplementaire commun (On raisonnera

01266 ] [correction] Soit E l’ensemble des matrices de la forme  a M (a, b, c) =  0 0 ∈ Mn (R) appelée matrice de permutation associée à σ. a) Montrer que ∀(σ, σ ) ∈ S2n , P (σ ◦ σ ) = P (σ)P (σ ) b) En déduire que E = {P (σ)/σ ∈ Sn } est un sous-groupe de GLn (R) isomorphe à Sn . c) Vérifier que t (P (σ)) = P (σ −1 ) Exercice 38 [ 01268 ] [correction] Soit E l’ensemble des matrices de M2 (K) de la forme A= Exercice 35 [ 01264 ] [correction] Montrer que Sn (R) et An (R) sont des sous-espaces vectoriels

la suite (un)n∈N en résulte. Enfin, si |r| = 1 et si r n’est pas une racine de l’unité, nous ne donnons qu’une esquisse de la démonstration et laissons au lecteur le soin de vérifier les détails. On peut montrer à partir de l’étude des sous-groupes de R que le groupe multiplicatif {rn | n ∈ Z} est dense dans le cercle U = {z | |z| = 1} et que cela entraîne que l’ensemble de ses valeurs d’adhérence est le cercle unité U tout entier. L’ensemble des valeurs d’adhérence de (un)n∈N est alors exactement l’image

equivalent knots—why? 10. Graph of a hyperbola Chapter 10. A chaotic end? 1. A ‘half-line angle’ 2. Trigonometric functions from Bourbaki 3. The ‘butterfly effect’ (Lorenz) 4. ‘Douady’s rabbit’ 5. The Smale horseshoe map 6. A string worldsheet, or morphism 7. The classical helium atom 8. Elliptic curve (real version) 9. Torus, or complex points on a projective elliptic curve Picture Credits The author thanks the following for permission to reproduce figures and illustrations in this text: The Schøyen

Le Th´or`me 1.5.10 dit que les ape e plications continues sont les applications qui par image r´ciproque envoie e la structure de X dans celle de X. Ainsi les applications continues sont 24 Espaces m´triques, espaces topologiques. e les morphismes associ´s ` la structure ”espace topologique” (le changee a ment de sens ne pose pas de probl`me et est mˆme assez fr´quent, on e e e parle de contravariance). La topologie alg´brique s’appuie sur ce point e de vue. 1.5.4 Hom´omorphismes e

D´finition 2.1.2 On dit que (E,∗) est un groupe si e (G1) ∀x,y,z ∈ E (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (Associativit´) ; e (G2) ∃e ∈ E/ ∀x ∈ E e ∗ x = x ∗ e = x (El´ment neutre) ; e (G3) ∀x ∈ E, ∃x ∈ E/ x ∗ x = x ∗ x = e (Tout ´l´ment est sym´trisable). ee e On dit que le groupe est commutatif (ou ab´lien) si en plus des propri´t´s (G1), (G2) et (G3) e ee on a ∀x,y ∈ E x ∗ y = y ∗ x(Commutativit´). e Exemple 2.1.2 i) (IR,+) est un groupe commutatif. ii) (F(IR,IR),+) est un groupe commutatif. D´finition 2.1.3 Soit