Morphisme de groupes

faut savoir Polynômes d’endomorphismes Soit u ∈ L(E). n • À tout polynôme P = k=0 n ak X k ∈ K[X ], on associe l’endomorphisme de E, P(u) = k=0 ak u k (avec la convention u 0 = Id E ). • L’application wu : K[X ] −→ L(E) est un morphisme de K-algèbre. On P −→ P(u) retiendra en particulier : ∀ (P, Q) ∈ K [X ]2 , (P Q) (u) = P (u) ◦ Q (u) = Q (u) ◦ P (u) . 5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation Attention ◦ Lorsque P = 1, on a P(u) = Id E . Lorsque P = X , on a P(u)

r´´quilibrage n’est n´cessaire, et l’algorithme e ee e est termin´. Sinon, d(x) = b + 1, et on ´clate le nœud x. e e L’´clatement de x est l’op´ration suivante : on cr´e deux nœuds fr`res x et x , et e e e e on partage les b + 1 fils de x en deux groupes, respectivement de (b + 1)/2 et (b + 1)/2 ´l´ments, le premier fournissant les fils de x , le second les fils de x . ee Comme b ≥ 2a − 1, on a (b + 1)/2 ≥ a, donc x et x v´rifient les contraintes e d’un arbre a–b. Si x a un p`re, soit z, les fr`res x